Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 13
Use a Parte do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho?
O enunciado tá pedindo pra gente encontrar a derivada de uma função que é dada como sendo uma integral de uma outra função.
Mais explicitamente, temos que encontrar a derivada da função
usando a Parte do Teorema Fundamental do Cálculo.
🤔 Mas o que essa tal de Parte do Teorema Fundamental do Cálculo diz mesmo?
Basicamente, ele fala que sempre que uma função é obtida integrando uma função , então a derivada da função é a função
Mas precisamos tomar cuidado!
De forma precisa, o teorema fundamental do cálculo diz que se
então
Perceba que isso não é exatamente o que temos na função , pois temos uma diferença no limite superior de integração. No caso do teorema, o limite superior é , enquanto no caso da função , ele é
Então, vamos ver como resolvermos essa questão?
Passo 2
Definindo a função
então é fácil calcular a derivada de usando o teorema fundamental do cálculo. Temos que
certo?
Guarda essa informação que vamos precisar dela!
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada da função conforme pedido no enunciado!
Pensa o seguinte: Devido a definição da função dada no passo anterior, então é dada por
Mas nós sabemos a derivada de e a derivada de , né? Então usando a Regra da Cadeia, conseguimos calcular a derivada de
De fato, a Regra da Cadeia diz que
então como
vale que
Substituindo as derivadas e , vamos obter que
Bem, mas a gente sabe que !
Dessa forma, a função procurada é dada por:
Resposta
A derivada da função
é