Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 61
Encontre a derivada da função.
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que encontrar a derivada de:
Para isso vamos usar a parte 1 do teorema fundamental do cálculo, que diz que:
Então:
Ou seja:
Para aplicar o teorema vamos precisar deixar a nossa expressão o mais parecida possível com a forma geral . Podemos começar fazendo:
Podemos também fazer:
Opa! Já melhorou bastante. Ficamos com:
Agora podemos tratar das duas integrais separadamente e depois juntar tudo!
Passo 2
Começando por:
Comparamos com o teorema fundamental do cálculo:
Assim temos:
Ok! Finalizamos a primeira integral!
Passo 3
Agora vamos pra outra parte da integral:
O limite superior da integral não se encaixa com o modelo para resolver isso podemos fazer uma substituição:
Ficamos com:
Percebe que temos variáveis ali em cima? e ?! Então para derivar vamos precisar usar a regra da cadeia:
Lá em cima definimos que então:
Podemos escrever :
Substituindo na regra da cadeia teremos:
Passo 4
Chegamos na derivada de , agora vamos precisar comparar com o teorema e ver que podemos concluir:
Vamos olhar só pra essa parte do meio que se encaixa com o teorema:
Por comparação podemos dizer que:
Agora podemos voltar pra nossa derivada principal e substituir essa informação:
Agora podemos voltar pra variável original:
Ufaa! Agora é só juntar!
Prontinhoo!