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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 61

Encontre a derivada da função.

F (x) = int_x^(x ²) e^(t ²) . d t

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que encontrar a derivada de:

F (x) = int_x^(x ²) e^(t ²) . d t

Para isso vamos usar a parte 1 do teorema fundamental do cálculo, que diz que:

g (x) = int_a^x f (t) d t

Então:

g^' (x) = f ( x )

Ou seja:

g^' (x) = (d)/(d x) int_a^x f (t) d t = f ( x )

Para aplicar o teorema vamos precisar deixar a nossa expressão o mais parecida possível com a forma geral int_a^x f (t) d t . Podemos começar fazendo:

int_x^(x ²) e^(t ²) . d t = int_x^0 e^(t ²) . d t + int_0^(x ²) e^(t ²) . d t

Podemos também fazer:

int_x^0 e^(t ²) . d t = - int_0^x e^(t ²) . d t

Opa! Já melhorou bastante. Ficamos com:

F (x) = - int_0^x e^(t^2) . d t + int_0^(x ²) e^(t ²) . d t

Agora podemos tratar das duas integrais separadamente e depois juntar tudo!

Passo 2

Começando por:

h (x) = - int_0^x e^(t ²) . d t

Comparamos com o teorema fundamental do cálculo:

g^' (x) = (d)/(d x) int_a^x f (t) d t = f ( x )

Assim temos:

h ' (x) = - e^(x^2)

Ok! Finalizamos a primeira integral!

Passo 3

Agora vamos pra outra parte da integral:

g (x) = int_0^(x ²) e^(t ²) . d t

O limite superior da integral não se encaixa com o modelo int_a^x f (t) d t para resolver isso podemos fazer uma substituição:

u = x ²

Ficamos com:

g (x) = int_0^u e^(t ²) . d t

Percebe que temos 3 variáveis ali em cima? x , u e t ?! Então para derivar g ( x ) vamos precisar usar a regra da cadeia:

g ' (x) = (d g)/(d x) = (d g)/(d u) xx (d u)/(d x)

Lá em cima definimos que u = x^2 então:

(d u)/(d x) = 2 x

Podemos escrever (d g)/(d u) :

(d g)/(d u) = (d)/(d u) (int_0^u e^(t ²) d t)

Substituindo na regra da cadeia teremos:

g^' (x) = (d g)/(d x) = [(d)/(d u) (int_0^u e^(t ²) d t)] xx (2 x)

Passo 4

Chegamos na derivada de g^' ( x ) , agora vamos precisar comparar com o teorema e ver que podemos concluir:

g^' (x) = [(d)/(d u) (int_0^u e^(t ²) d t)] xx (2 x)

g^' (x) = (d)/(d x) int_a^x f (t) d t = f ( x )

Vamos olhar só pra essa parte do meio que se encaixa com o teorema:

(d)/(d u) (int_0^u e^(t ²) d t)

Por comparação podemos dizer que:

(d)/(d u) (int_0^u e^(t ²) d t) = f (u) = e^(u^2)

Agora podemos voltar pra nossa derivada principal e substituir essa informação:

g^' (x) = e^(u^2) xx (2 x)

Agora podemos voltar pra variável original:

g^' (x) = e^((x^2)^2) xx (2 x)

g^' (x) = 2 x e^(x^4)

Ufaa! Agora é só juntar!

F^' (x) = - e^(x ²) + 2 x e^(x^4)

Prontinhoo!

Resposta

F^' (x) = - e^(x ²) + 2 x e^(x^4)

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