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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 24

Encontre os valores de a e b para os quais

underset(x -> 0)(lim) (cos (a x) - b)/(2 x^2) = - 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Observe que o limite do denominador é 0. Para que o limite exista, o limite do numerador também deve ser zero. O que significa que

underset(x -> 0)(lim) cos ( a x ) - b = 0

Fazendo a substituição direta

cos (0) - b = 0

Logo, o termo b é igual a

b = 1

Passo 2

Como o limite underset(x -> 0)(lim) (cos (a x) - b)/(2 x^2) é da forma (0)/(0) , vamos aplicar a regra de L’Hospital

underset(x -> 0)(lim) (- a^2 cos ( a x ))/(4) = - (a^2)/(4)

Como o limite é igual a - 1 , temos que

- (a^2)/(4) = - 1

Eliminando o sinal negativo,

(a^2)/(4) = 1 -> a^2 = 4

Portanto, o termo a é igual a

a = +- 2

Resposta

a = +- 2 ; b = 1

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