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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 89

Demonstre que se l i m n → ∞   a n = 0 e b n for limitada, então

l i m n → ∞ a n b n = 0

Passo 1

Fala, pessoal!

Para fazer essa demonstração, vamos a definição 2 do nosso livro:

Uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se para cada ε > 0 existir um inteiro correspondente N   tal que se

n > N então a n - L < ε

A partir daí poderemos fazer nossa demonstração.

Passo 2

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Isso significa que, para qualquer número positivo ε , existe um número natural N 1 tal que para todo n > N 1 ​, temos ∣ a n - 0 ∣ < ε , ou seja, ∣ a n ∣ < ε .

{bn​} é limitada. Isso significa que existe um número real positivo M tal que ∣ b n ∣ ≤ M para todo n .

Aqui nós queremos mostrar que l i m n → ∞ a n b n = 0 . Precisamos mostrar que, para qualquer ε > 0 , existe um número natural N tal que para todo n > N , temos ∣ a n b n - 0 ∣ < ε , ou seja, ∣ a n b n ∣

Para n > m a x N 1 , N 2 (onde N 2 ​ é um número que garante que b n ​ está limitado), temos

∣ a n ∣ < ε e ∣ b n ​   ∣ ≤ M , então, ∣ a n b n ∣ < ε M .

Escolhendo N = m a x N 1 , N 2 , para todo n > N , temos ∣ a n b n ∣ < ε M .

Por fim, como   ε M pode ser arbitrariamente pequeno, escolhendo ε pequeno o suficiente, isso mostra que lim n → ∞ ⁡ ( a n b n ) = 0 .

Resposta

Assim, demonstramos que se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 e { b n } é limitada, então lim n → ∞ ⁡ ( a n b n ) = 0

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