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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 15

Sejam a e b constantes com 0 < a < b . A sequência { a n + b n 1 / n } converge? Se ela convergir, qual é o limite?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos considerar a   e b como constantes com a seguinte desigualdade

0 < a < b

Agora, vamos supor que

c n = a n + b n 1 n

Podemos fazer a seguinte manipulação

c n = b a b n + 1 1 / n

Colocando o l n nos dois lados, obtemos que

ln ⁡ c n = ln ⁡ b + 1 n ln ⁡ a b n + 1

Com isso, nós temos que

ln ⁡ c n = ln ⁡ b + ln ⁡ a b n + 1 n

Passo 2

Agora, vamos aplicar o limite com n tendendo a ∞ e caso necessário aplicar a regra de L’Hospital, com isso,

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ c n = ln ⁡ b + lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ a b n + 1 n

Desenvolvendo os termos e aplicando a regra de L’Hospital

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ c n = ln ⁡ b + lim n → ∞ ⁡ a b n ln ⁡ a b a b n + 1

Com isso, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ c n = ln ⁡ b + lim n → ∞ ⁡ a b n ln ⁡ a b a b n + 1

Logo, temos o seguinte resultado

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ c n = ln ⁡ b + lim n → ∞ ⁡ 0 ∙ ln ⁡ a b 0 + 1 = ln ⁡ b

Passo 3

Para encerrar, vamos relembrar o seguinte teorema, se o lim x → a ⁡ ln ⁡ f ( x ) = L , então

  lim x → a ⁡ f ( x ) =   lim x → a ⁡ e ln ⁡ f ( x ) = e L

Neste caso, a pode ser finito ou infinito, portanto, nós temos que

  lim x → ∞ ⁡ c n = e ln ⁡ b →   lim x → ∞ ⁡ c n = b

Portanto, a sequência dada é convergente e o limite é igual a b.

Resposta

lim n → ∞ ⁡ a n + b n 1 n = b

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