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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 28

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos, se houver, nos intervalos dados e indique onde esses valores ocorrem.

f x = x - 2 x + 1 ,   ( - 1,5 ]

Passo 1

E aí, tudo joia?

Uma questãozinha de máximo e mínimo de função pra a gente!

Nessas questões não tem segredo: a gente deriva a função, vê onde a derivada zera, e depois vê o que é máximo e mínimo. Aqui a gente tem um intervalo limitado, então vamos nos atentar a isso aí depois!

Bora lá?!

Passo 2

Vamos derivar essa função. Regra do quociente, não esquece!

Bora lá!

f ' x = 1 x + 1 - ( 1 x - 2 ) x + 1 2

f ' x = x + 1 - x + 2 x + 1 2 = 3 x + 1 2

Passo 3

Agora a gente tem que ver onde essa derivada zera! Lembra que denominador não pode nem pensar em zerar, então a gente vai ver só a função de cima...

A função de cima também não zera, porque 3 não pode ser zero né? Então a gente não tem ponto crítico! Só vamos ver os pontos do intervalo então...

Em - 1 a função não tá definida (temos uma assíntota ali), então vamos ver em 5 ...

f 5 = 5 - 2 5 + 1 = 3 6 = 1 2

Vamos ter que fazer o teste da Derivada segunda aqui pra ver se é ponto de máximo ou mínimo.

Passo 4

O lance aqui é o seguinte: a gente vai fazer a derivada dessa derivada e ver se no ponto x = 5 ela é positiva ou negativa. Se for positiva, o ponto é de mínimo e se for negativa, o ponto é de máximo! Bora ver isso então!

f ' ' x =   - 3 2 x + 1 1 x + 1 4  

f ' ' x = - 6 x - 6 x + 1 4

f ' ' 5 =   - 6 5 - 6 5 + 1 4

f ' ' 5 =   - 30 - 6 6 4 =   - 36 6 4 < 0

Ou seja, temos um ponto de máximo em x = 5 😊

Resposta

Ponto de máximo: 5 , 1 2

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