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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 57

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.

f x = sin ⁡ x + cos ⁡ x                           ;       0 , π 3

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos a função:

f x = sin ⁡ x + cos ⁡ x

E precisamos encontrar os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo 0 , π 3 .

Para isso vamos, primeiro calcular a derivada de f ( x ) e iguala-la a zero para encontrar os números críticos. Depois a gente vai usar o método do intervalo fechado que é basicamente calcular f ( x ) nesses pontos e nos pontos extremos, x = 0 e x = π 3   .

O maior valor vai ser nosso máximo absoluto e o menor o mínimo absoluto!

Vamos que vamos!

Passo 2

Primeiro derivamos a função:

f x = sin ⁡ x + cos ⁡ x

Temos então:

f ' x = cos ⁡ x - sin ⁡ x

Passo 3

Igualando a zero, pra achar os números críticos:

f ' x = cos ⁡ x - sin ⁡ x = 0

sin ⁡ x = cos ⁡ x      

  sin ⁡ x cos ⁡ x = 1

Isso é o mesmo que:

tan ⁡ x = 1

Agora temos que pensar no valor, ou nos valores de x dentro do intervalo 0 , π 3 onde tan ⁡ x = 1 .

O nosso valor de x é:

x = π 4

Passo 4

Agora vamos conferir os valores substituindo os seguintes valores em f ( x ) :

x = 0

x = π 3

x = π 4

Aplicando, temos:

f 0 = sin ⁡ 0 + cos ⁡ 0 = 1

Agora f π 3 :

f π 3 = sin ⁡ π 3 + cos ⁡ π 3 = 3 2 + 1 2

f π 3 = 1 , 87

E pra acabar f π 4 :

f π 4 = sin ⁡ π 4 + cos ⁡ π 4 = 2 2 + 2 2

f π 4 = 2 = 1,41

Com isso, temos que o nosso valor máximo absoluto é f π 3   e o nosso mínimo absoluto é f 0 .

Showw né?

Resposta

Valor máximo absoluto: f π 3 , valor mínimo absoluto: f 0 = 1 .

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