Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 43
43. a) Uma indústria química vende ácido sulfúrico a granel a por unidade. Se o custo de produção total diário em dólares para unidades for:
E se a capacidade de produção diária for de, no máximo, unidades, quantas unidades de ácido sulfúrico devem ser fabricadas e vendidas diariamente para maximizar o lucro?
b) Beneficiaria ao industrial expandir a capacidade de produção diária?
c) Usando análise marginal, aproxime o efeito sobre o lucro causado por um aumento de para unidades na produção diária.
Passo 1
a) Então galera, o que queremos achar aqui é uma expressão para o lucroda indústria química, e como já estudamos, temos que o lucro é determinado pela seguinte expressão:
Ou melhor:
O custo já nos foi dado, mas a receita não. No entanto, encontrar a receita é bem tranquilo, galera. Temos que a expressão da receita é:
Como a questão já nos fornece , então:
Passo 2
Agora que temos as expressões da receita e do custo do produto, temos que o lucro será:
Beleza, encontramos a expressão que queríamos! No entanto, o enunciado quer a maximização do lucro, e isso só acontece quando:
Disso tiramos que:
Opa, esse resultado é um problema porque passa do limite de produção diário! Sendo assim, temos que o lucro máximo estará nos extremos do nosso intervalo! Para temos:
Para temos:
Sendo assim, unidades devem ser fabricadas e vendidas diariamente para maximizar o lucro da indústria!
Passo 3
b) Como vimos no passo anterior, para maximizar o lucro o dono da indústria deveria produzir diariamente unidades de ácido sulfúrico, sendo assim, sem dúvida alguma seria vantajoso para o industrial expandir a capacidade de produção diária!
Passo 4
c) Então galera, para fazermos a análise marginal devemos utilizar a seguinte relação, conforme estudado na seção em questão, saca só:
Como , então temos o seguinte:
Do passo 2 temos que , logo:
Sendo assim, podemos concluir que o lucro seria de ao aumentar em unidade a produção diária!
Resposta
a) unidades.
b) Seria sim vantajoso par ao industrial aumentar a capacidade de produção diária.
c) O lucro seira de .