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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 55

Avalie a integral.

int (1)/(x + 4 + 4 sqrt(x + 1)) d x

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos uma divisão, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, então fazemos substituições!!

Para o valor de u , vamos ter

u = sqrt(x + 1)

Se quisermos o valor de x , teremos x = u^2 - 1 e a derivada disso é d x = 2 u d u . Substituimos os valores:

int (1)/(x + 4 + 4 sqrt(x + 1)) d x = int (2 u)/(u^2 - 1 + 4 + 4 u) d u

Agora simplificamos a equação:

int (2 u)/(u^2 + 3 + 4 u) d u = - int ((- 1)/(u + 1) - (3)/(u + 3)) d u

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

- int ((- 1)/(u + 1) - (3)/(u + 3)) d u = 3 ln |u + 3| - ln |u + 1| + C

Portanto, substituindo o valor de u :

int (1)/(x + 4 + 4 sqrt(x + 1)) d x = 3 ln |sqrt(x + 1) + 3| - ln |sqrt(x + 1) + 1| + C

Prontinho!!

Resposta

int (1)/(x + 4 + 4 sqrt(x + 1)) d x = 3 ln |sqrt(x + 1) + 3| - ln |sqrt(x + 1) + 1| + C

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