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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 20

Encontre os valores máximo e mínimo locais de f usando ambos os Testes das Primeira e Segunda Derivadas. Qual método você prefere?

f x = x x 2 + 4

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar os valores máximo e mínimo locais da seguinte função:

f x = x x 2 + 4

Para isso, devemos utilizar os Testes das Primeira e Segunda Derivadas.

Como acabamos de mencionar, temos que derivar duas vezes a função.

O teste da primeira derivada serve para analisarmos o domínio e verificar onde ocorre a udança de sinal da função.

Já o teste da segunda derivada serve para analisar o sinal do ponto crítico e, com isso, determinar se este é máximo ou mínimo.

Bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiramente, vamos obter as derivadas primeira e segunda utilizando a Regra do Produto:

f ' x = - x 2 + 4 x 2 + 4 2

E, derivando novamente:

f ' ' x = 2 x 3 - 24 x x 2 + 4 3

Assim, pontos críticos ocorrem quandoa derivada é igual a zero:

f ' x = - x 2 + 4 x 2 + 4 2 = 0 ∴

- x 2 + 4 = 5 ∴

x 2 = 4

x = 2 ou x = - 2

Passo 3

Teste da Derivada Primeira:

Precisamos analisar o sinal da derivada primeiro:

f ' x = - x 2 + 4 x 2 + 4 2 > 0

- x 2 + 4 > 5

x 2 < 4

- 2 < x < 2

E

f ' x = - x 2 + 4 x 2 + 4 2 < 0

- x 2 + 4 < 5

x 2 > 4

x < - 2 ou x > 2

Logo, f é decrescente nos intervalos - ∞ , - 2 e ( 2 , ∞ ) e crescente no intervalo ( - 2,2 ) , então o ponto x = 2 é máximo local pois f cresce até ele e decresce a partir dele e o ponto x = - 2 é mínimo local pois f decresce até ele e cresce depois dele.

Passo 4

Teste da Derivada Segunda:

Se o ponto crítico é x = - 2 e

f ' - 2 = - x 2 + 4 x 2 + 4 2 = 0

f ' ' - 2 = 2 - 2 3 - 24 - 2 - 2 2 + 4 3 = 1 16

Então x = - 2 é mínimo local pois f ' - 2 = 0 e f ' ' - 2 > 0 .

Se o ponto crítico é x = 2 e

f ' ' 2 = 0

f ' ' 2 = 2 ( 2 ) 3 - 24 ( 2 ) 2 2 + 4 3 = - 1 16

Então x = 2 é máximo local pois f ' 2 = 0 e f ' ' 2 < 0

Resposta

x = - 2 é mínimo local e x = 2 é máximo local

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