Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 35
Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.
Passo 1
Bom meus amigos, o enunciado da questão é bem direto, temos uma série que é um somatório de infinitos termos que convergem para um valor fixo e queremos saber esse valor aproximadamente.A forma de fazer isso é ir somando cada termo até chegarmos à um valor satisfatoriamente próximo. E como que eu sei se está satisfatoriamente próximo? Ora, primeiro tu deves definir qual o erro aceitável. Pensando de outra forma... (como ocorre nesse exercício) já foi definido a quantidade de termos que temos que somar. E queremos encontrar qual o erro para essa soma.Então iremos comparar o valor dessa soma com uma que podemos conhecer o valor da série. E iremos estimar o erro por comparação.
Passo 2
Para estimar a soma com termos basta fazer
Como a questão pede com os primeiros termos
Para este cálculo, podemos usar um software matemático
Passo 3
Agora para estimar o erro, vamos usar
Podemos dizer que o erro é a soma dos termos seguintes, o que faz sentido já que estamos somando só até uma parte, o nosso erro é o que falta somar, então
Onde é o numero de termos que você vai usar, é a soma total da série e é a aproximação, mas nós não sabemos quanto vale a soma desta série, então, vamos estimar o erro por comparação.
Se tivermos uma série , onde e o erro dessa série é dado por
Podemos dizer que , por conta de que .
Passo 4
Então precisamos escolher um que sabemos o valor exato e que seja parecido o suficiente com a série que queremos estimar a soma.
Pensando em séries que conhecemos o resultado exatos, podemos escolher as séries geométricas.
Usando
A soma desta série nós conseguimos calcular, já que é uma série geométrica e segue a seguinte regra:
Então:
Agora precisamos da soma dos primeiros termos para calcularmos o erro
Então temos que