Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 36
Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.
Passo 1
Certo galrinha!!!. Uma série é uma soma infinita de termos que pode convergir para um valor fixo. Nas situações em que converge, precisamos descobrir qual esse valor.E a forma mais rudimentar de fazer isso é calcular essa soma até um número grande o suficiente.Para decidir se o cálculo da soma foi suficiente definimos um erro máximo. Ou seja, essa questão quer basicamente que façamos a soma de termos. E após isso é calculado o erro, que é a diferença entre o valor da soma para os primeiros termos com o valor para o qual a função converge.
Para estimar esse razão iremos comparar o valor dessa soma com uma que podemos conhecer o valor exato da série. E iremos estimar o erro por comparação.
Passo 2
Para estimar a soma com termos basta fazer
Como a questão pede com os primeiros termos
Para este cálculo, podemos usar um software matemático
Passo 3
Agora para estimar o erro, vamos usar
Podemos dizer que o erro é a soma dos termos seguintes, o que faz sentido já que estamos somando só até uma parte, o nosso erro é o que falta somar, então
Onde é o numero de termos que você vai usar, é a soma total da série e é a aproximação, mas nós não sabemos quanto vale a soma desta série, então, vamos estimar o erro por comparação.
Se tivermos uma série , onde e o erro dessa série é dado por
Podemos dizer que , por conta de que .
Passo 4
Então precisamos escolher um que sabemos o valor exato e que seja parecido o suficiente com a série que queremos estimar a soma.
Pensando em séries que conhecemos o resultado exatos, podemos escolher as séries geométricas.
Para
Vamos utilizar o termo de maior potência no numerador e no denominador. Então:
A soma desta série nós conseguimos calcular, já que é uma série geométrica que segue a seguinte regra: (Lembre-se muito bem disso.)
Portanto,
Agora precisamos da soma dos primeiros termos para calcularmos o erro
Então temos que