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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 45

Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .

∑ n = 0 ∞ cos n ⁡ x 2 n  

Passo 1

Este é um caso de uma série geométrica da forma

∑ n = 0 ∞ a r n

O interessante é que para essas séries nós sabemos que elas só convergem para r < 1 e que se convergir, sua soma é

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Pronto, já temos tudo que precisamos pra resolver a questão.

Passo 2

Sabemos que para uma série geométrica convergir, r < 1 e para este caso r = ( cos ⁡ x ) / 2 , logo

cos ⁡ x 2 < 1

Podemos tirar o 2 do módulo

cos ⁡ x 2 < 1

cos ⁡ x < 2

Porém, sabemos que o cosseno vale entre - 1 e 1 , ou seja, cos ⁡ x ≤ 1 , Logo, a série

∑ n = 0 ∞ cos n ⁡ x 2 n

Converge para todo x real, pois para qualquer valor do cosseno, essa série converge. Escrevendo de maneira mais elegante x ∈ R .

Passo 3

Então, a soma vale

∑ n = 0 ∞ cos n ⁡ x 2 n = 1 1 - cos ⁡ x 2 = 2 2 - cos ⁡ x

Resposta

x ∈ R

∑ n = 0 ∞ cos n ⁡ x 2 n = 2 2 - cos ⁡ x

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