Encontre os valores de para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de .
Passo 1
Este é um caso de uma série geométrica da forma
O interessante é que para essas séries nós sabemos que elas só convergem para e que se convergir, sua soma é
Pronto, já temos tudo que precisamos pra resolver a questão.
Passo 2
Sabemos que para uma série geométrica convergir, e para este caso , logo
Podemos tirar o do módulo
Porém, sabemos que o cosseno vale entre e , ou seja, , Logo, a série
Converge para todo real, pois para qualquer valor do cosseno, essa série converge. Escrevendo de maneira mais elegante .
Passo 3
Então, a soma vale