Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 89
O conjunto de Cantor, cujo nome é uma homenagem ao matemático alemão Georg Cantor (1845-1918), é construído como a seguir. Começamos com o intervalo fechado e removemos o intervalo aberto Isso nos leva a dois intervalos, e . Dividimos novamente cada intervalo em três e removemos cada terço intermediário aberto. Quatro intervalos permanecem, e novamente repetimos o processo. Continuamos esse procedimento indefinidamente, em cada passo removendo o terço do meio aberto de cada intervalo que permanece do passo anterior. O conjunto de Cantor consiste nos números em que permanecem depois de todos estes intervalos terem sido removidos.
(a) Mostre que o comprimento total de todos os intervalos que foram removidos é . Apesar disso, o conjunto de Cantor contém infinitos números. Dê exemplos de alguns números no conjunto de Cantor.
(b) O tapete de Sierpinski é o correspondente bidimensional do conjunto de Cantor. Ele é construído pela remoção do subquadrado central de um quadrado de lado dividido em nove subquadrados. A etapa seguinte consiste em remover os subquadrados centrais dos oito quadrados menores que permaneceram, e assim por diante. (A figura apresenta as três primeiras etapas da construção.) Mostre que a soma das áreas dos quadrados removidos é . Isso implica que o tapete de Sierpinski tem área .
Passo 1
Galera, aqui a gente tem um procedimento em que vamos retirando partes de um intervalo. Não se confunde com essa figura do enunciado, ela só vale pro item (b)
No item (a) estamos falando do caso 1D e no item (b), do caso 2D. Mas você pode meio que pegar essas figuras pra imaginar apenas a linha do meio.
O que nós vamos fazer, é analisar os primeiros termos de cada sequência pra ver se a gente tira um padrão.
Passo 2
(a) Repare o que acontece em cada etapa:
Então, ao final de todas as etapas, teremos removido um comprimento total dado pela série:
Vamos abrir o 2:
Isso aí se parece muito com uma série geométrica:
Com e .
E a soma da série geométrica é:
Então, ao final de todas as etapas, teremos removido um comprimento total dado pela série geométrica:
Provamos!
Alguns números do conjunto de Cantor, que não foram removidos nessas etapas, são: e .
Passo 3
(b) Vamos proceder analogamente para o caso bidimensional.
Agora vamos olhar a figura:
Então, ao final de todas as etapas, teremos removido uma área total dada pela série geométrica:
E a soma dessa série é:
Resposta
Provas.