Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 17
Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?
Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza? 
Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral da série e associá-lo a uma função . Nesse nosso caso, ficamos com:
O Teste da Integral consiste em calcular a integral imprópria:
No nosso caso, teremos:
Se essa integral convergir, nossa série também converge. Caso contrário, nossa série diverge.
Lembrando que para aplicar o teste da integral nossa função precisa cumprir alguns requisitos: deve ser contínua, positiva e decrescente no intervalo da série.
Bora lá?
Passo 2
Vamos avaliarmos se essa nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio . De maneira prática, é só olhar para :
Aqui vemos ele será sempre pois os valores de também são positivos e não temos nenhum termo que mudará o sinal dos valores de.
Vemos também que ela decresce à medida que aumenta. Percebe que à medida que aumenta o denominador fica sempre maior que o 1 que temos no numerador? Portanto a fração vai adquirindo um valor cada vez menor, show de bola?
Agora que vimos que nossa função é positiva, crescente e contínua no intervalo , podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:
Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica com:
e
Substituindo na nossa integral, teremos:
Passo 4
Vamos dedicar esse passo para algumas simplificações trigonométricas da nossa integral. Como:
e
Ficamos com:
Simplificando mais, temos:
Como:
Ficamos com:
Voltando a nossa integral:
Passo 5
Agora podemos de fato resolver nossa integral:
Nosso resultado será:
Passo 6
Retornando à nossa integral imprópria, temos:
Aplicando os limites de integração:
Resolvendo o limite. Como o argumento da função tangente inversa tende ao infinito, o valor da função se aproxima de :
Opa! A nossa integral imprópria convergiu para um valor!
Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!