Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 4

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a n = 1 n 2 + 4 ↔ f x = 1 x 2 + 4

O Teste da Integral consiste em calcular a integral imprópria:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = lim n → ∞ ⁡ ∫ 1 n f ( x ) d x

No nosso caso, teremos:

∫ 1 ∞ 1 x 2 + 4 d x = lim n → ∞ ⁡ ∫ 1 n 1 x 2 + 4 d x

Se essa integral convergir, nossa série também converge. Caso contrário, nossa série diverge.

Lembrando que para aplicar o teste da integral nossa função precisa cumprir alguns requisitos: deve ser contínua, positiva e decrescente no intervalo da série.

Bora lá?

Passo 2

Vamos avaliarmos se essa nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 1 , ∞ ) . De maneira prática, é só olhar para f x :

f x = 1 x 2 + 4

Aqui vemos ele será sempre pois os valores de x   também são positivos e não temos nenhum termo que mudará o sinal dos valores de   f x .

Vemos também que ela decresce à medida que x aumenta. Percebe que à medida que x aumenta o denominador fica sempre maior que o 1 que temos no numerador? Portanto a fração vai adquirindo um valor cada vez menor, show de bola?

Agora que vimos que nossa função é positiva, crescente e contínua no intervalo [ 1 , ∞ ) , podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 ∞ 1 x 2 + 4 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 x 2 + 4 d x

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica com:

x = 2 ∙ tg ⁡ θ e d x = 2 . sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ d x x 2 + 4 = ∫ 2 sec 2 ⁡ θ d θ 4 tg 2 ⁡ θ + 4

Passo 4

Vamos dedicar esse passo para algumas simplificações trigonométricas da nossa integral. Como:

sec ⁡ θ = 1 c o s θ e t g θ = s e n θ c o s θ

Ficamos com:

∫ 2 sec 2 ⁡ θ d θ 4 tg 2 ⁡ θ + 4 = ∫ 2 . 1 cos 2 ⁡ θ 4 sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + 1 d θ

Simplificando mais, temos:

sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + 1 = sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ

Como:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Ficamos com:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 cos 2 ⁡ θ

Voltando a nossa integral:

∫ 2 . 1 cos 2 ⁡ θ 4 sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + 1 d θ = ∫ 2 . 1 cos 2 ⁡ θ 4 1 cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 5

Agora podemos de fato resolver nossa integral:

∫ 2 . 1 cos 2 ⁡ θ 4 1 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ d θ 2

Nosso resultado será:

∫ d θ 2 = θ 2 = tg - 1 ⁡ x 2 2

Passo 6

Retornando à nossa integral imprópria, temos:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t d x x 2 + 4 = lim t → ∞ ⁡ tg - 1 ⁡ x 2 2 1 t

Aplicando os limites de integração:

lim t ��� ∞ ⁡ tg - 1 ⁡ x 2 2 1 t = lim t → ∞ ⁡ tg - 1 ⁡ t 2 2 - tg - 1 ⁡ 1 2 2

Resolvendo o limite. Como o argumento da função tangente inversa tende ao infinito, o valor da função se aproxima de π 2 :

lim t → ∞ ⁡ tg - 1 ⁡ t 2 2 - tg - 1 ⁡ 1 2 2 = 1 2 π 2 - tg - 1 ⁡ 1 2

Opa! A nossa integral imprópria convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 4   é convergente

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