Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 26
Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?
Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza? 
Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral da série e associá-lo a uma função . Nesse nosso caso, ficamos com:
O Teste da Integral consiste em calcular a integral imprópria:
No nosso caso, teremos:
Se essa integral convergir, nossa série também converge. Caso contrário, nossa série diverge.
Lembrando que para aplicar o teste da integral nossa função precisa cumprir alguns requisitos: deve ser contínua, positiva e decrescente no intervalo da série.
Bora lá?
Passo 2
Vamos avaliar se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio .
Perceba que a função é contínua nesse intervalo pois não há restrições para os valores que pode assumir.
Também é positiva pois os valores de são positivos e a expressão não mudará o sinal desses valores.
Por fim, podemos ver que é decrescente uma vez que , certo? Então como o denominador cresce muito mais rápido que o numerador. A função decresce. Então podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:
Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a substituição trigonométrica com:
e
Fazendo essa substituição, ficaremos com:
Cancelando termos iguais que estão dividindo e usando:
e
Reescrevemos:
Simplificando mais, temos:
Como:
Ficamos com:
Reescrevendo novamente:
Resolvendo a integral, temos:
Passo 4
Voltando a nossa integral inicial:
Como:
Ficamos com:
Retornando à nossa integral imprória, temos:
Aplicando os limites de integração:
Finalmente calculamos nosso limite. Como o argumento da função tangente inversa tende ao infinito, o valor da função se aproxima de :
Passo 5
Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!
Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!