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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.2 - Ex. 78

Encontre os valores de x para os quais a série geométrica dada converge. Encontre também a soma da série (como uma função de x ) para esses valores de x .

∑ n = 0 ∞ ln ⁡ x n

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente vamos relembrar a teoria para séries geométricas! Vem comigo.

As séries geométricas tem a seguinte forma:

a + a r + a r 2 + ⋯ + a r n - 1 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ a r n - 1

Onde a e r são números reais fixos e a ≠ 0 . A série pode ainda ser escrita como ∑ n = 0 ∞ a r n . A razão r pode ser positiva:

1 + 1 2 + 1 4 + ⋯ + 1 2 n - 1 + ⋯

com:

  • r = 1 / 2 ;
  • a = 1 .

    • Ou negativa:

    1 - 1 3 + 1 9 - ⋯ + - 1 3 n - 1 + ⋯

    onde:

  • r = - 1 / 3 ;
  • a = 1 .

Se   | r | < 1 , então r n → 0 quando n → ∞ e s n → a / ( 1 - r ) . A série converge para:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Lembrando que, a fórmula a / ( 1 - r ) para a soma de uma série geométrica se aplica quando n = 1 na expressão ∑ n = 1 ∞ a r n - 1 (ou o índice n = 0 , escrevemos a série como ∑ n = 0 ∞ a r n ).

Passo 2

Sendo assim, com a seguinte série, conseguimos determinar os valores de a e r :

∑ n = 0 ∞ ln ⁡ x n

Onde:

a = 1

r = ln ⁡ x

Com estes valores conseguimos determinar o valor da soma da série:

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

∑ n = 0 ∞ ln ⁡ x n = 1 1 - ln ⁡ x

A série converge quando:

r < 1

  ln ⁡ x < 1

Quando ln ⁡ x < 1 :

e ln ⁡ x < e 1 → x < e

E para - ln ⁡ x < 1 :

ln ⁡ x > - 1

e ln ⁡ x > e - 1 → x < 1 e

Sendo assim:

1 e < x < e

Espero ter conseguido ajudar, até mais pessoal!

Resposta

  • 1 e < x < e ;
  • s n = 1 1 - ln ⁡ x .

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