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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 16

Encontre a soma da série infinita

1 + (2)/(10) + (3)/(10^2) + (7)/(10^3) + (2)/(10^4) + (3)/(10^5) + (7)/(10^6) + (2)/(10^7) + (3)/(10^8) + (7)/(10^9) + ...

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A série dada pode ser escrita da seguinte forma na forma de soma

1 + sum_(n = 0)^(oo) (2)/(10^(3 n + 1)) + sum_(n = 0)^(oo) (3)/(10^(3 n + 2)) + sum_(n = 0)^(oo) (7)/(10^(3 n + 3))

Colocando alguns termos em evidência

1 + (2)/(10) sum_(n = 0)^(oo) (1)/(10^(3 n)) + (3)/(10^2) sum_(n = 0)^(oo) (1)/(10^(3 n)) + (7)/(10^3) sum_(n = 0)^(oo) (1)/(10^(3 n))

Desenvolvendo os termos,

1 + [(2)/(10) + (3)/(100) + (7)/(1000)] sum_(n = 0)^(oo) (1)/(10^(3 n))

Observe que a série vermelha é uma série geométrica com termo inicial a = 1 e razão comum r = (1)/(1000) . Portanto,

sum_(n = 0)^(oo) (1)/(10^(3 n)) = (a)/(1 - r) = (1)/(1 - (1)/(1000)) = (1000)/(999)

Passo 2

Portanto, a soma da série é

1 + [(2)/(10) + (3)/(100) + (7)/(1000)] (1000)/(999)

Colocando todo mundo com um mesmo denominador, obtemos que

1 + [(200)/(1000) + (30)/(1000) + (7)/(1000)] (1000)/(999)

Com isso,

1 + [(237)/(1000)] (1000)/(999) = 1 + (237)/(999)

Simplificando os termos

1 + (79)/(333) = (412)/(333)

Resposta

(412)/(333)

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