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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 32

Valor esperado - Suponha que uma variável aleatória X possa assumir os valores 1, 2, 3, ..., com probabilidades p 1 , p 2 , p 3 , … onde p k é a probabilidade de que X seja igual a k   ( k = 1,2 , 3 , … ) . Suponha ainda que p k ≥ 0 e que ∑ k = 1 ∞ p k = 1 . O valor esperado de X , denotado por E ( X ) , é o número ∑ k = 1 ∞ k p k , contanto que a série convirja. Em cada um dos casos a seguir, mostre que ∑ k = 1 ∞ p k = 1 e encontre E ( X ) se ele existir. (Sugestão: veja o Exercício 31.)

a. p k = 2 - k

b. p k = 5 k - 1 6 k

c. p k = 1 k k + 1 = 1 k - 1 k + 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Nós temos que encontrar e mostrar que ∑ k = 1 ∞ p k = 1 , onde p k = 2 - k , para isso, vamos relembrar do conceito de série geométrica, que é bem simples, veja

∑ k = 1 ∞ a r k - 1 = a 1 - r ,     p a r a   r < 1

Vamos notar que para esse caso, temos que a = r , com isso,

∑ k = 1 ∞ r k = r 1 - r ,     p a r a   r < 1

Agora, nós temos a seguinte configuração

∑ k = 1 ∞ p k = ∑ k = 1 ∞ 2 - k = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k

Usando o conceito de série geométrica, chegamos no seguinte resultado

∑ k = 1 ∞ 1 2 k = 1 2 1 - 1 2 = 1

Portanto, nós provamos que ∑ k = 1 ∞ p k = 1 . Agora nós temos que encontrar E ( X ) , para isso, vamos recapitular a letra (a) do exercício 31(a), nós sabemos que

1 1 - x 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 ,     p a r a   x < 1

Com isso, nós temos que

E X =   ∑ k = 1 ∞ k p k = ∑ k = 1 ∞ k 2 - k

Que vai ser basicamente

E X = 1 2 ∑ k = 1 ∞ k 2 1 - k = 1 2 1 1 - 1 2 2 = 2

Passo 2

B - Nós temos que encontrar e mostrar que ∑ k = 1 ∞ p k = 1 , onde p k = 5 k - 1 6 k , Agora, nós temos a seguinte configuração

∑ k = 1 ∞ p k = ∑ k = 1 ∞ 5 k - 1 6 k = 1 5 ∑ k = 1 ∞ 5 6 k

Usando o conceito de série geométrica, chegamos no seguinte resultado

1 5 ∑ k = 1 ∞ 5 6 k = 1 5 5 6 1 - 5 6 = 1

Portanto, nós provamos que ∑ k = 1 ∞ p k = 1 . Agora nós temos que encontrar E ( X ) . Com isso, nós temos que

E X =   ∑ k = 1 ∞ k p k = ∑ k = 1 ∞ k 5 k - 1 6 k

Que vai ser basicamente

E X = 1 6 ∑ k = 1 ∞ k 5 6 k - 1 = 1 6 1 1 - 5 6 2 = 6

Passo 3

C - Nós temos que encontrar e mostrar que ∑ k = 1 ∞ p k = 1 , onde p k = 5 k - 1 6 k , Agora, nós temos a seguinte configuração

∑ k = 1 ∞ p k = ∑ k = 1 ∞ 5 k - 1 6 k = 1 5 ∑ k = 1 ∞ 5 6 k

Usando o conceito de série geométrica, chegamos no seguinte resultado

1 5 ∑ k = 1 ∞ 5 6 k = 1 5 5 6 1 - 5 6 = 1

Portanto, nós provamos que ∑ k = 1 ∞ p k = 1 . Agora nós temos que encontrar E ( X ) . Com isso, nós temos que

E X =   ∑ k = 1 ∞ k p k = ∑ k = 1 ∞ k 5 k - 1 6 k

Que vai ser basicamente

E X = 1 6 ∑ k = 1 ∞ k 5 6 k - 1 = 1 6 1 1 - 5 6 2 = 6

Resposta

Resposta nos passos

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