1. Se f(x) = e^x / (2x² + x + 1) , encontre f'(x) .
  2. Verifique se sua resposta em (a) é razoável, comparando os gráficos de f e f' .

Passo 1

E aí, galerinha, tudo joia do lado daí?

Se liga só nessa questão, no item a) o enunciado nos dá a função

f x = e x 2 x ² + x + 1

E pede para encontrarmos a derivada de f x , aqui usaremos a seguinte regra do quociente:

d d x f x g ( x ) = g x d d x f ( x ) - f ( x ) d d x g ( x ) g x 2

Ou seja, temos:

d d x f x g ( x ) = g d e n o m i n a d o r d d x n u m e r a d o r - f ( n u m e r a d o r ) d d x d e n o m i n a d o r d e n o m i n a d o r 2

E no item b) vamos comparar os gráficos de f x e f ' x . A ideia aqui é verificar se a resposta faz sentido utilizando nossos conhecimentos do comportamento de uma derivada.

Passo 2

Aqui no item a), vamos encontrar a derivada de

f x = e x 2 x ² + x + 1

Bom, precisamos derivar esta função. Antes de tudo devemos notar que há uma divisão entre os termos. Então o que usamos?

A Regra do Quociente, certo? Vamos lembrar:

d d x f x g ( x ) = g x d d x f ( x ) - f ( x ) d d x g ( x ) g x 2

Se chamarmos:

f x = e x

e

g x = 2 x ² + x + 1

Derivando:

d d x f x = e x

d d x g x = 4 x + 1

Substituindo:

d d x f x g x = 2 x 2 + x + 1 e x - e x ( 4 x + 1 ) ( 2 x ² + x + 1 ) ²

Se isolarmos e x :

d d x f x g x = e x . 2 x 2 + x + 1 - 4 x - 1 ( 2 x ² + x + 1 ) ² = e x . 2 x 2 - 3 x ( 2 x ² + x + 1 ) ²

E pronto! Terminamos a letra a, e agora vamos para a b!

Passo 3

As funções obtidas são: f x = e x 2 x ² + x + 1

E

f ' ( x ) = e x . 2 x 2 - 3 x ( 2 x ² + x + 1 ) ²

Logo, o gráfico é representado abaixo.

A derivada nos mostra a inclinação da reta tangente ao gráfico da função. Então, pelo gráfico, quando a derivada é positiva, a reta tangente tem inclinação crescente e, consequentemente, a função também cresce. Quando a inclinação diminui, a função decresce. A derivada intercepta o eixo x duas vezes.

Resposta

f ' x = e x . 2 x 2 - 3 x ( 2 x ² + x + 1 ) ²

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