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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 12

Nos Exercícios 1-18, determine d y // d x .

12. y = (cos x)/(1 + sen x)

Passo 1

(d y)/(d x) = (d)/(d x) ((cos x)/(1 + sen x))

Regra do quociente:

(d)/(d x) ((u)/(v)) = (v (d u)/(d x) - u (d v)/(d x))/(v^2)

Onde u = cos x e v = 1 + sen x . A função vai ficar:

(d y)/(d x) = ((1 + sen x) (d)/(d x) (cos x) - cos x (d)/(d x) (1 + sen x))/((1 + sen x)^2)

Passo 2

A derivada de ( cos x ) é igual a ( - sen x ) .

E a derivada de (1 + sen x) , usando a regra da soma, é igual a ( 0 + cos x )

Então a função vai ficar:

(d y)/(d x) = ((1 + sen x) ( - sen x ) - cos x ( cos x ))/((1 + sen x)^2)

(d y)/(d x) = (- sen x - sen^2 x - cos^2 x)/((1 + sen x)^2)

Passo 3

Como sen^2 x + cos^2 x = 1 , podemos escrever:

(d y)/(d x) = (- sen x - ( sen^2 x + cos^2 x ))/((1 + sen x)^2)

(d y)/(d x) = (- sen x - 1)/((1 + sen x)^2)

(d y)/(d x) = (- ( 1 + sen x ))/((1 + sen x)^2)

Corta em cima e em baixo:

(d y)/(d x) = (- 1)/(1 + sen x)

Resposta

(d y)/(d x) = (- 1)/(1 + sen x)

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