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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 32

Nos Exercícios 27-32, determine d p // d q .

32. p = (3 q + tg q)/(q sec q)

Passo 1

(d p)/(d q) = (d)/(d q) ((3 q + tg q)/(q sec q))

Regra do quociente:

(d)/(d q) ((u)/(v)) = (v (d u)/(d q) - u (d v)/(d q))/(v^2)

Onde u = 3 q + tg q e v = q sec q . A função vai ficar:

(d p)/(d q) = ((q sec q) (d)/(d q) (3 q + tg q) - (3 q + tg q) (d)/(d q) (q sec q))/((q sec q)^2)

Passo 2

Vamos calcular (d)/(d q) (3 q + tg q) e (d)/(d q) (q sec q) separadamente para não ficar com uma equação gigante e ter menos chance de se confundir:

Podemos usar a regra do produto, para (d)/(d q) (q se c q) :

(d)/(d q) (u * v) = v (d u)/(d q) + u (d v)/(d q)

Onde u = q e v = se c q :

(d)/(d q) (q se c q) = (se c q) (d)/(d q) (q) + (q) (d)/(d q) (se c q)

Derivada de ( se c q ) é ( s ec q tg q ) :

(d)/(d q) (q se c q) = (se c q) (1) + (q) (s ec q tg q)

Já (d)/(d q) (3 q + tg q) é mais fácil, só precismos usar a regra da soma:

(d)/(d q) (3 q + tg q) = (d)/(d q) (3 q) + (d)/(d q) (tg q)

(d)/(d q) (3 q + tg q) = (3) + (sec q tg q)

Passo 3

Agora podemos substituir, os valores encontrados no Passo 2, na equação novamente:

(d p)/(d q) = ((q sec q) (3 + sec q tg q) - (3 q + tg q) (sec q + q sec q tg q))/((q sec q)^2)

Vamos multiplicar os termos, para tentar simplificar um pouco a equação:

(d p)/(d q) = (3 q sec q + q sec^3 q - 3 q sec q - 3 q^2 sec q tg q - tg q sec q - q tg^2 q sec q)/((q sec q)^2)

(d p)/(d q) = (q sec^3 q - 3 q^2 sec q tg q - tg q sec q - q tg^2 q sec q)/((q sec q)^2)

Resposta

(d p)/(d q) = (q sec^3 q - 3 q^2 sec q tg q - tg q sec q - q tg^2 q sec q)/((q sec q)^2)

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