Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 50
Se , encontre o vetor gradiente e use-o para encontrar a reta tangente à curva de nível no ponto . Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente.
Passo 1
Fala aí! Nós temos a função
e precisamos encontrar a reta tangente, o vetor gradiente e esboçar a curva de nível dessa função��� Bastante coisa, né? Mas relaxa que a gente dá conta de tudo juntos!
Primeiro calcularemos o gradiente de no ponto . Depois disso, usaremos esse vetor para encontrar a reta tangente à curva de nível na qual esse gradiente é perpendicular.
Essa última frase já nos traz informação suficiente para resolver a questão. Veja bem, se o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível, então um vetor perpendicular a ele será tangente à curva.
Logo, se eu quero saber a reta tangente à curva, isto é, que tem a direção do vetor perpendicular ao gradiente, basta impor que o produto escalar dos vetores será nulo.
Tranquilo? Vamos ver melhor como fica isso.
Passo 2
Primeiro encontrando as derivadas parciais, vamos ter:
Temos então que:
E substituindo o dado do enunciado, , vamos ter:
Show de bola! Vamos continuar!
Passo 3
Agora vamos encontrar a equação da reta tangente, beleza?
Bom, qualquer ponto dessa reta deverá ser acessado por um vetor e esse vetor deve ser perpendicular ao gradiente, logo:
Podemos fazer a distributiva:
Simplificando todo mundo por , vamos ficar com:
Uhul! Conseguimos!
Resposta
O vetor gradiente será:
A equação da reta tangente é: