Enunciado

  1. Duas superfícies são chamadas ortogonais em um ponto se a intersecção das suas retas normais são perpendiculares a esse ponto. Mostre que as superfícies com equações F x , y , z = 0 e G x , y , z = 0 são ortogonais no ponto P onde ∇ F ≠ 0 e ∇ G ≠ 0 se e somente se:
  2. F x G x + F y G x + F z G z = 0 em P

  3. Use a parte a para mostrar que a superfície z 2 = x 2 + y 2 e x 2 + y 2 + z 2 = r 2 são ortogonais em todos os pontos da intersecção. Você pode ve isso que isso é verdade sem calcular?

Passo 1

Oie, vamos de resolução?

Neste exercício, comprovamos a conexão da perpendicularidade das superfícies aos seus gradientes. Começamos calculando os gradientes e manipulando-os e seus produtos de pontos.

A primeira direção,  F  e  G  ortogonal em  P .

Se as linhas normais para as superfícies no ponto  P  são perpendiculares, o produto do ponto dos gradientes de  F  e  G  é igual a zero.

E é a partir disso que iremos provar.

Passo 2

  1. A direção da linha normal de F é dada por ∇ f e de G por ∇ g . Assumindo que ∇ f e ∇ g sejam diferentes de 0, as duas linhas perpendiculares em P se
  2. ∇ f ⋅ ∇ g = 0

    em P . Assim

    ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z ⋅ ∂ G ∂ x , ∂ G ∂ y , ∂ G ∂ z = 0

    em P se, e somente se,

    F x G x + F y G x + F z G z = 0

    em P .

  3. Note que G = 0 é a equação da esfera, centrada na origem e F = 0 é a direção do cone circular direito com vértice na origem.

Em qualquer ponto de interseção, a linha normal da esfera corta o cone e assim, é perpendicular a linha normal do cone.

Então, as superfícies com equações G = 0 e F = 0 são ortogonais em qualquer lugar.

Resposta

Ver o desenvolvimento

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se g x , y = x 2 + y 2 - 4 x , encontre o vetor gradiente ∇ g 1,2 e use-o para encontrar a reta tangente à curva de nível g x , y = 1 no ponto 1,2 . Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor
14.47. Se f x , y = x 2 + 4 y 2 , determine o vetor gradiente ∇ f 2,1 e use-o para determinar a reta tangente à curva de nível da função f x , y = 8 no ponto 2,1 . Esboce as curvas de nível, reta tang