Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 67
- Duas superfícies são chamadas ortogonais em um ponto se a intersecção das suas retas normais são perpendiculares a esse ponto. Mostre que as superfícies com equações e são ortogonais no ponto onde e se e somente se:
em
- Use a parte a para mostrar que a superfície e são ortogonais em todos os pontos da intersecção. Você pode ve isso que isso é verdade sem calcular?
em
Passo 1
Oie, vamos de resolução?
Neste exercício, comprovamos a conexão da perpendicularidade das superfícies aos seus gradientes. Começamos calculando os gradientes e manipulando-os e seus produtos de pontos.
A primeira direção, e ortogonal em .
Se as linhas normais para as superfícies no ponto são perpendiculares, o produto do ponto dos gradientes de e é igual a zero.
E é a partir disso que iremos provar.
Passo 2
- A direção da linha normal de é dada por e de por . Assumindo que e sejam diferentes de 0, as duas linhas perpendiculares em P se
- Note que é a equação da esfera, centrada na origem e é a direção do cone circular direito com vértice na origem.
em . Assim
em se, e somente se,
em .
Em qualquer ponto de interseção, a linha normal da esfera corta o cone e assim, é perpendicular a linha normal do cone.
Então, as superfícies com equações e são ortogonais em qualquer lugar.
Resposta
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