Encontre as equações paramétricas das retas tangentes a curva da intersecção do paraboloide z = x^2 + y^2 e da elipsoide 4 * x^2 + y^2 + z^2 = 9 no ponto (-1,1, 2) .

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje, meu querido amigo.

Veja que a gente tem a intersecção entre:

z = x 2 + y 2

E

4 x 2 + y 2 + z 2 = 9

E queremos encontrar a equação paramétrica da reta tangente a curva gerada pela intersecção dessas duas curvas aí.

Fazer isso é até simples, pelo menos eu irei te fazer achar simples. Primeiro, iremos calcular o gradiente das duas curvas.

Depois iremos encontrar esse gradiente no ponto dado, que é:

P = - 1,1 , 2

Depois disso iremos encontrar o vetor v que é o vetor do produto vetorial entre o paraboloide e da elipsoide, iremos utilizar na equação da reta:

γ t = P + t v

Em que P é o nosso ponto.

Passo 2

Primeiro iremos calcular o vetor gradiente do paraboloide:

z - x 2 - y 2 = 0

Aqui deveremos calcular as derivadas parciais de cada coordenada em relação a sua variável:

∇ p x , y , z = p x ,   p y , p z

∇ p x , y , z = - 2 x , - 2 y , 1

E agora iremos calcular o gradiente para o elipsoide:

4 x 2 + y 2 + z 2 = 9

Aqui deveremos calcular as derivadas parciais de cada coordenada em relação a sua variável:

∇ e x , y , z = e x ,   e y , e z

∇ e x , y , z = 8 x , 2 y , 2 z

Passo 3

Agora a gente vai substituir o ponto P - 1,1 , 2 :

∇ p x , y , z = - 2 x , - 2 y , 1

∇ p - 1,1 , 2 = 2 , - 2,1

∇ e x , y , z = 8 x , 2 y , 2 z

∇ e - 1,1 , 2 = - 8,2 , 4

Agora é hora do produto vetorial:

v = i j k p x p y p z e x e y e z

O cálculo do produto vetorial é dado pelo determinante:

v = - 2 ⋅ 4 - 2 ⋅ 1 i - 2 ⋅ 4 - 1 - 8 j + 2 ⋅ 2 - - 8 - 2 k

v = - 10 i - 16 j - 12 k

Passo 4

Agora vamos finalmente para a equação paramétrica:

γ t = P + t v

γ t = - 1,1 , 2 + t - 10 , - 16 , - 12

Reta paramétrica é então:

x = - 1 - 10 t

y = 1 - 16 t

z = 2 - 12 t

Resposta

x = - 1 - 10 t ; y = 1 - 16 t ; z = 2 - 12 t

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