Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 63
Encontre as equações paramétricas das retas tangentes a curva da intersecção do paraboloide e da elipsoide no ponto .
Passo 1
Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje, meu querido amigo.
Veja que a gente tem a intersecção entre:
E
E queremos encontrar a equação paramétrica da reta tangente a curva gerada pela intersecção dessas duas curvas aí.
Fazer isso é até simples, pelo menos eu irei te fazer achar simples. Primeiro, iremos calcular o gradiente das duas curvas.
Depois iremos encontrar esse gradiente no ponto dado, que é:
Depois disso iremos encontrar o vetor que é o vetor do produto vetorial entre o paraboloide e da elipsoide, iremos utilizar na equação da reta:
Em que é o nosso ponto.
Passo 2
Primeiro iremos calcular o vetor gradiente do paraboloide:
Aqui deveremos calcular as derivadas parciais de cada coordenada em relação a sua variável:
E agora iremos calcular o gradiente para o elipsoide:
Aqui deveremos calcular as derivadas parciais de cada coordenada em relação a sua variável:
Passo 3
Agora a gente vai substituir o ponto :
Agora é hora do produto vetorial:
O cálculo do produto vetorial é dado pelo determinante:
Passo 4
Agora vamos finalmente para a equação paramétrica:
Reta paramétrica é então:
Resposta
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