Enunciado

Mostre que a elipsoide 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 9 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24 = 0 são tangentes entre sí no ponto 1,1 , 2 . (Isso significa que elas têm um plano tangente em comum nesse ponto)

Passo 1

Oie, vamos resolver essa atividade juntos agora.

A situação é a seguinte, devemos provar que dada a elipsoide de equação:

3 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 9

E a esfera de equação:

x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24 = 0

São tangentes entre sí no ponto 1,1 , 1 .

Primeiramente, observamos que o ponto   ( 1,1 , 2 ) pertence a ambas as superfícies. Para mostrar que elas tangenciam o mesmo ponto devemos encontrar a equação da tangente da elipsoide e da esfera e ver se o ponto dado faz parte das duas equações.

Devemos calcular os gradientes de ambas as curvas e criarmos a equação da reta tangente:

γ x , y , z = ∇ f ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0

Passo 2

Encontrando o vetor gradiente do elipsoide:

e x , y , z = 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 - 9

∇ e x , y , z = e x , e y , e z

Derivando parcialmente:

e x x , y , z = 6 x   ; e y x , y , z = 4 y   ; e z x , y , z = 2 z

Temos então que nosso gradiente é:

∇ e x , y , z = 6 x , 4 y , 2 z

E no ponto que nos foi dado:

∇ e 1,1 , 2 =   6,4 , 4

A equação da tangente é:

γ x , y , z = ∇ f ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0

γ x , y , z = ∇ e 1,1 , 2 ⋅ x - 1 , y - 1 , z - 2

Substituindo os valores:

γ x , y , z = 6,4 , 4 ⋅ x - 1 , y - 1 , z - 2

Realizando o produto escalar:

γ x , y , z =   3 x + 2 y + 2 z - 9

Passo 3

Encontrando o vetor gradiente da esfera:

s x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24

Calculando cada derivada parcial:

s x x , y , z = 2 x - 8

s y x , y , z = 2 y - 6

s z x , y , z = 2 z - 8

Teremos então que nosso gradiente é:

∇ s x , y , z = 2 x - 8,2 y - 6,2 z - 8

No ponto dado:

∇ s 1,1 , 2 =   - 6 , - 4 , - 4

A equação da tangente é:

γ x , y , z = ∇ f ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0

Colocando o ponto:

γ x , y , z = ∇ s 1,1 , 2 ⋅ x - 1 , y - 1 , z - 2

Realizando o produto escalar:

γ x , y , z = - 6 , - 4 , - 4 ⋅ x - 1 , y - 1 , z - 2

γ x , y , z = 3 x + 2 y + 2 z - 9

Como as equações das tangentes são as mesmas, temos que elas possuem um plano tangente em comum.

Resposta

As equações possuem plano tangente em comum.

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