Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 56
Mostre que a elipsoide e a esfera são tangentes entre sí no ponto . (Isso significa que elas têm um plano tangente em comum nesse ponto)
Passo 1
Oie, vamos resolver essa atividade juntos agora.
A situação é a seguinte, devemos provar que dada a elipsoide de equação:
E a esfera de equação:
São tangentes entre sí no ponto .
Primeiramente, observamos que o ponto pertence a ambas as superfícies. Para mostrar que elas tangenciam o mesmo ponto devemos encontrar a equação da tangente da elipsoide e da esfera e ver se o ponto dado faz parte das duas equações.
Devemos calcular os gradientes de ambas as curvas e criarmos a equação da reta tangente:
Passo 2
Encontrando o vetor gradiente do elipsoide:
Derivando parcialmente:
Temos então que nosso gradiente é:
E no ponto que nos foi dado:
A equação da tangente é:
Substituindo os valores:
Realizando o produto escalar:
Passo 3
Encontrando o vetor gradiente da esfera:
Calculando cada derivada parcial:
Teremos então que nosso gradiente é:
No ponto dado:
A equação da tangente é:
Colocando o ponto:
Realizando o produto escalar:
Como as equações das tangentes são as mesmas, temos que elas possuem um plano tangente em comum.
Resposta
As equações possuem plano tangente em comum.