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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 61

Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados.

y = cos ⁡ x ,     y = 0 ,     x = 0 ,     x = π 2 ,     a o   r e d o r   d e   y = - 1

Passo 1

Para calcularmos o volume é bem simples: definimos O intervalo de integração que é de ( 0 , π 2 ) . A área é A = π [ 1 + cos 2 ⁡ x 2 - 1 ] , usaremos ela na fórmula!!

Podemos calcular o volume!!

Passo 2

V = ∫ 0 π 2 π [ 1 + cos 2 ⁡ x 2 - 1 ] d x

Resolvendo a potencia, temos:

V = ∫ 0 π 2 π ( 2 cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x ) d x

Podemos usar aquela fórmula trigonométrica: cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 . Assim, podemos substituir na integral.

V = π 2 sin ⁡ x + 1 2 x + 1 4 sin ⁡ 2 x 0 π 2

V = π 2 sin ⁡ π 2 + 1 2 × π 2 + 1 4 sin ⁡ 2 × π 2 - 2 sin ⁡ 0 + 1 2 × 0 + 1 4 sin ⁡ 2 × 0

V = π 2 + π 4

V = 2 π + π 2 4

Prontinho!!

Resposta

V = 2 π + π 2 4

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