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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.3 - Ex. 27

Avalie a integral.

int (d x)/((x^2 + 2 x + 2)^2)

Passo 1

Para a resolução de uma integral pela substituição trigonométrica, precisamos fazer a escolha da substituição. Sendo u = tan theta , logo, derivando temos d x = sec^2 theta d theta . E, ainda u^2 + 1 = sec^2 theta .

Para x^2 + 2 x + 2 , temos que usar o método de completar os quadrados.

x^2 + 2 x + 2 = (x + 1)^2 + 1

Então, u = x + 1 e d u = d x . Logo,

int (d u)/((u^2 + 1)^2)

Assim podemos aplicar as substituições trigonométricas!!

int (d u)/((u^2 + 1)^2) = int (sec^2 theta d theta)/(sec^4 theta)

Essa integral tem como resultado:

int cos^2 theta d theta = (1)/(2) int ( 1 + cos 2 theta ) d theta = (1)/(2) ( theta + sin theta cos theta ) + C

Logo,

int cos^2 theta d theta = (1)/(2) [tan^(- 1) u + (u)/(1 + u^2)] + C

int cos^2 theta d theta = (1)/(2) [tan^(- 1) ( x + 1 ) + (x + 1)/(x^2 + 2 x + 2)] + C

Prontinho!!

Resposta

int cos^2 theta d theta = (1)/(2) [tan^(- 1) ( x + 1 ) + (x + 1)/(x^2 + 2 x + 2)] + C

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