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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 57

Encontre o volume do sólido gerado quando a região entre y = s e n ( x ) e y = 0 , com 0 ≤ x ≤ π , gira em torno do eixo y .

Passo 1

Queremos calcular o volume de um sólido gerado quando a região entre y = s e n ( x ) e y = 0 gira em torno do eixo y . Usando o método da casca cilíndrica, podemos dizer que:

V = ∫ 0 π 2 π x s e n x d x

Retirando a constante de dentro da integral, temos que:

V = 2 π ∫ 0 π x s e n x d x

Resolveremos a integral por substituição por partes, onde:

u = x

d u = d x

d v = s e n x d x

v = - cos ⁡ ( x )

Assim:

V = 2 π ∫ 0 π x s e n x d x = - x c o s x - ∫ - cos ⁡ x d x 0 π

V = 2 π ∫ 0 π x s e n x d x = - x c o s x + s e n ( x ) 0 π

V = 2 π - π c o s π + s e n ( π ) - 2 π - 0 . c o s 0 + s e n ( 0 )

V = 2 π 2

Resposta

V = 2 π 2

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Use a integração por partes para estabelecer a fórmula de redução:63 - ∫ x n e a x d x =x n e a x a - n a ∫ x n - 1 e a x d x
Use a integração por partes para estabelecer a fórmula de redução:62 - ∫ x n s e n xd x = - x n c o s x + n ∫ x n - 1 c o sxd x
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