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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 70

Use a fórmula:

∫ f - 1 x d x = x f - 1 x - ∫ f y d y , sendo y = f - 1 ( x )

Expresse suas respostas em termos de x:

70 –

∫ log 2 ⁡ x   d x

Passo 1

Vamos utilizar a fórmula indicada no enunciado, deste modo:

∫ f - 1 x d x = x f - 1 x - ∫ f y d y

Sendo:

f - 1 x = log 2 ⁡ x e f y = 2 y

Desta forma reescreveremos a função na integral:

∫ log 2 ⁡ x   d x =   log 2 ⁡ x - ∫ 2 y d y

Passo 2

Resolveremos agora a parte da integral:

x log 2 ⁡ x - ∫ 2 y d y

Dado: ∫ a x d x = a x l n ⁡ ( a )

Deste modo teremos:

x log 2 ⁡ x - 2 y ln ⁡ 2 + C

Passo 3

Dado: y = f - 1 ( x ) , substituindo teremos:

x log 2 ⁡ x - 2 l o g 2 x ln ⁡ 2 + c

Poderemos simplificar a expressão:

x log 2 ⁡ x - 2 l o g 2 x ln ⁡ 2 + c = x log 2 ⁡ x - x ln ⁡ 2 + C  

Resposta

x log 2 ⁡ x - x ln ⁡ 2 + C

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