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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 63

Use a integração por partes para estabelecer a fórmula de redução:

63 - ∫ x n e a x d x =   x n e a x a - n a ∫ x n - 1 e a x d x

Passo 1

Temos a Integral de funções ∫ f x g x d x , dado f x = x n e g x = e a x

Primeiramente vamos descobrir as partes u d u e v d v .

Sendo: u d u para f(x) e v d v para g(x).

u = f x , então:   u = x n

d u = f ' x   d x   logo: d u =   n x n - 1 d x

d v = g x   d x então: d v = e a x   d x

v = ∫ g x d x =   ∫ e a x d x = 1 a e a x = e a x a

Passo 2

Agora inserimos nossa equação na forma: ∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

u v = u ⋅ v = x n ⋅ 1 a e a x = x n a e a x = x n e a x a

∫ x n e a x d x =   x n e a x a - ∫ 1 a e a x ⋅ n x n - 1 d x  

Passo 3

Organizando os termos obteremos o resultado esperado, observe:

∫ x n e a x d x = x n e a x a - ∫ e a x a ⋅ n x n - 1 d x

Multiplicando os termos:

∫ x n e a x d x = x n e a x a - ∫ n x n - 1 e a x a d x , os termos constantes: n a poderá ser passado para fora da integral, observe:

∫ x n e a x d x =   x n e a x a - ∫ n a x n - 1 e a x d x

∫ x n e a x d x =   x n e a x a - n a ∫ x n - 1 e a x d x

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

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