Mostre que:65 - int_a^b ( int_x^b f (t) d t ) d x = int_a^b ( x - a ) f ( x ) d x

Enunciado

Primeiramente vamos descobrir as partes e .

Sendo: para f(x) e para g(x).

Agora inserimos nossa equação na forma:

Agora organizamos os termos e verificaremos o problema:

Primeiro vamos resolver as integrais que estão nas chaves, fazendo os limites b-a, onde x é igual o limite definido, observe:

Quando os limites da integral são iguais, seu valor será zero, desta forma podemos descartar algumas partes e descomplicar o cálculo, observe:

Observe que , assim como , analise a expressão que ficamos:

Reorganizando a integral, obteremos o resultado esperado:

Observamos que o sinal de negativo está multiplicando ambas as integrais, assim de acordo com a propriedade matemática , logo:

Ei, a resposta está no passo a passo :)