Mostre que:

65 - ∫ a b ( ∫ x b f t d t )   d x = ∫ a b ( x - a ) f ( x ) d x

Passo 1

Primeiramente vamos descobrir as partes u d u e v d v .

Sendo: u d u para f(x) e v d v para g(x).

u = x - a

d u = f ' x   d x   :     d u =   1 - 0 = 1 d x

  d v = f x d x

  v =   ∫ b x f t   d t = - ∫ x b f ( t ) d t

Passo 2

Agora inserimos nossa equação na forma: ∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

u v = u ⋅ v = x - a ⋅ - ∫ x b f t   d t = - ( x - a ) ∫ x b f t d t

∫ a b x - a f x d x =   ( x - a ) ∫ b x f t d t - ∫ a b - ∫ x b f t   d t   d x

Agora organizamos os termos e verificaremos o problema:

( x - a ) ∫ b x f t d t a b - ∫ a b - ∫ x b f t   d t   d x

Primeiro vamos resolver as integrais que estão nas chaves, fazendo os limites b-a, onde x é igual o limite definido, observe:

( b - a ) ∫ b b f ( t ) d t - ( a - a ) ∫ b a f t d t - ∫ a b - ∫ x b f t   d t   d x

Quando os limites da integral são iguais, seu valor será zero, desta forma podemos descartar algumas partes e descomplicar o cálculo, observe:

( b - a ) ⋅ 0 - 0 ⋅ ∫ b a f t d t - ∫ a b - ∫ x b f t   d t   d x

Observe que b - a ⋅ 0 = 0 , assim como a - a = 0 , analise a expressão que ficamos:

- ∫ a b - ∫ x b f t   d t   d x

Passo 3

Reorganizando a integral, obteremos o resultado esperado:

∫ a b x - a f x d x = - ∫ a b - ∫ x b f t   d t   d x

Observamos que o sinal de negativo está multiplicando ambas as integrais, assim de acordo com a propriedade matemática - ⋅ -   =   +   , logo:

∫ a b x - a f x d x = ∫ a b ∫ x b f t   d t   d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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