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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 65

Mostre que:

65 - int_a^b ( int_x^b f (t) d t ) d x = int_a^b ( x - a ) f ( x ) d x

Passo 1

Primeiramente vamos descobrir as partes u d u e v d v .

Sendo: u d u para f(x) e v d v para g(x).

u = x - a

d u = f^' (x) d x : d u = 1 - 0 = 1 d x

d v = f (x) d x

v = int_b^x f (t) d t = - int_x^b f ( t ) d t

Passo 2

Agora inserimos nossa equação na forma: int u d v = u v - int v d u

u v = u * v = (x - a) * - int_x^b f (t) d t = - ( x - a ) int_x^b f (t) d t

int_a^b (x - a) f (x) d x = ( x - a ) int_b^x f (t) d t - int_a^b (- int_x^b f (t) d t) d x

Agora organizamos os termos e verificaremos o problema:

[( x - a ) int_b^x f (t) d t]_a^b - int_a^b (- int_x^b f (t) d t) d x

Primeiro vamos resolver as integrais que estão nas chaves, fazendo os limites b-a, onde x é igual o limite definido, observe:

{[( b - a ) int_b^b f ( t ) d t] - [( a - a ) int_b^a f (t) d t]} - int_a^b (- int_x^b f (t) d t) d x

Quando os limites da integral são iguais, seu valor será zero, desta forma podemos descartar algumas partes e descomplicar o cálculo, observe:

{[( b - a )] * 0 - [0 * int_b^a f (t) d t] - int_a^b (- int_x^b f (t) d t) d x}

Observe que (b - a) * 0 = 0 , assim como a - a = 0 , analise a expressão que ficamos:

- int_a^b (- int_x^b f (t) d t) d x

Passo 3

Reorganizando a integral, obteremos o resultado esperado:

int_a^b (x - a) f (x) d x = - int_a^b (- int_x^b f (t) d t) d x

Observamos que o sinal de negativo está multiplicando ambas as integrais, assim de acordo com a propriedade matemática - * - = + , logo:

int_a^b (x - a) f (x) d x = int_a^b (int_x^b f (t) d t) d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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