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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 73

Use a integração por partes para estabelecer a fórmula de redução:

73 - ∫ s e n h - 1 x d x

Passo 1

Utilizando a fórmula:

∫ f - 1 x d x = x f - 1 x - ∫ f y d y   ,   s e n d o   y = f - 1 x

Para: f - 1 x = s e n - 1 x   e   f y = s e n h y

x s e n h - 1 x -   ∫ s e n h y d y

Passo 2

Resolvendo a Integral:

∫ s e n h y d y

Dado: ∫ s e n h x d x = c o s h ⁡ ( x )

Assim: ∫ s e n h y d y = c o s h ⁡ ( y )

Passo 3

Substituindo as informações:

x s e n h - 1 x - cosh ⁡ y + c

Substituindo y = f - 1 x

x s e n h - 1 x - cosh ⁡ s e n h - 1 x + c

Passo 4

x s e n h - 1 x - cosh ⁡ s e n h - 1 x + c

Precisamos derivar a função acima, deste modo teremos:

senh - 1 ⁡ x + x 1 + x 2 - senh ⁡ senh - 1 ⁡ x   x 1 + x 2   ,assim teremos:

x 1 + x ² - senh ⁡ senh - 1 ⁡ x   x 1 + x 2 = 0 ,deste modo a derivada será: senh - 1 ⁡ x

Abaixo no próximo passo será realizado pelo método b, verifique:

Passo 5

∫ senh - 1 ⁡ x d x  

Utilizando a fórmula:

∫ f - 1 x   d x = x f - 1 x - ∫ x d d x f - 1 x d x

∫ s e n h - 1 x = x   s e n h - 1 x - ∫ x d d x s e n h - 1 x d x

∫ s e n h - 1 x = x   s e n h - 1 x - ∫ x   ( - cosh ⁡ x s e n h x 2 )   d x

Passo 6

Dado: - cosh ⁡ x s e n h x 2 = 1 1 + x ² , assim temos:

x   s e n h - 1 x - ∫ x 1 1 + x 2 d x

x   s e n h - 1 x - ∫ x 1 + x 2 d x

Dado a integral:

∫ x 1 + x 2 d x

Dado u =   1 + x ²   e   d u = 1 2 1 + x ² * 2 x  

∫ x 1 + x 2 * 1 1 2 1 + x 2 2 x d u = ∫ 1 1 + x 2 * 1 1 1 + x 2   d u = ∫ 1 1 + x 2 *   1 + x 2   d u = ∫ 1 d u

∫ 1   d u = u + c =     1 + x 2 + c  

Assim temos:

x   s e n h - 1 x - 1 + x 2 + c    

Passo 7

A verificação será dada pela derivada de:   x   s e n h - 1 x - 1 + x 2 + c     , assim:

d d x x   s e n h - 1 x - 1 + x 2 + c    

1 senh ⁡ x - x c o s h x s e n h 2 x - x 1 + x 2 = 1 senh ⁡ x - - x 1 + x 2 - x 1 + x 2 = s e n h - 1 x

s e n h - 1 x  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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