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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 14

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

y = s e n   x ,   y = cos ⁡ x ,   0 ≤ x ≤ π 4 ; e m   t o r n o   d o   e i x o   y = - 1

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as seguintes curvas

y = s e n   x ,   y = cos ⁡ x ,   0 ≤ x ≤ π 4

E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y = - 1 da região delimitada pelas curvas acima! Depois disso temos que esboçar a região!

Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema. Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas!

Temos duas funções trigonométricas. Plotando elas e o eixo y = - 1 , para o intervalo dado:

Lembrando que seja S um sólido que está entre x = a e x = b . Se a área da secção transversal de S no plano P x , passando por x e perpendicular ap eixo x , é A x , onde A é uma função contínua, então o volume S é dado por:

V = ∫ a b A x d x

Observando o gráfico percebemos que os limites de integração serão a = 0 e b é igual a x no ponto de intersecção entre as curvas sin ⁡ x   e cos ⁡ x .

A área A ( x ) é dada por:

A = π r 1 2 - r 2 2

Onde r 1 é o raio maior e r 2 é o raio menor, que são dados em relação a y = - 1 . Na prática a diferença entre os raios é delimitada pelas curvas sin ⁡ x   e cos ⁡ x .

Passo 2

O raio maior vai ser igual a função

r 1 = s e n   x - ( - 1 )

r 2 = cos ⁡ x - ( - 1 )

Assim temos:

A x = π s e n   x + 1 2 - cos ⁡ x + 1 2

A x = π [ cos 2 ⁡ x + 2 cos ⁡ x - s e n 2 x - 2   s e n   x ]

A x = π [ cos ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ x - 2   s e n   x ]

Temos também um ponto de intersecção que vai determinar o limite superior de integração:

s e n   x = cos ⁡ x

x = π 4

Agora sim, podemos montar a integral:

V = ∫ 0 π 4 π [ cos ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ x - 2   s e n   x ] d x

Passo 3

Resolvendo a integral, temos

V = π 1 2 s e n   2 x + 2   s e n   x + 2 cos ⁡ x 0 π 4

V = π 1 2 s e n   2 π 4 + 2   s e n   π 4 + 2 cos ⁡ π 4 - 1 2 s e n   2 ( 0 ) + 2   s e n   ( 0 ) + 2 cos ⁡ ( 0 )

V = π 1 2 + 2 + 2 - ( 0 + 0 + 2 )

V = π 2 2 - 3 2

Passo 4

Com a rotação vamos ter a seguinte região:

Prontinho!

Resposta

V = π ( 2 2 - 3 2 )

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