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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 32

Encontre uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas sobre a reta especificada. Em seguida, use a calculadora para determinar a integral com precisão de cinco casas decimais

y = cos 2 ⁡ x ,   y = 0 ,   - π 2 ≤ x ≤ π 2

  1. Em torno do eixo x
  2. Em torno do eixo y=1

Passo 1

Em torno do eixo x, resolvemos integral da seguinte forma:

V x = ∫ - π 2 π 2 π ( cos 2 ⁡ x ) d x

Essa integral pode ser dividida em duas partes, devido os intervalos iguais, então

V x = 2 π ∫ 0 1 cos 4 ⁡ x d x

Essa é uma integral sem antiderivada elementar. Resolvendo com a ajuda da calculadora, temos que V x = 3,7 0110 .

Já em torno do eixo y=1, temos

V x = ∫ - π 2 π 2 π { 1 - 0 2 - 1 - cos 2 ⁡ x 2 d x

V x = ∫ - π 2 π 2 π { e - x 2 + 1 2 - 0 + 1 2 d x

Essa integral também pode ser dividida em duas partes, devido os intervalos iguais, então

V x = 2 π ∫ 0 1 1 - ( 1 - 2 cos 2 ⁡ x + cos 4 ⁡ x ) d x

V x = 2 π ∫ 0 1 ( 2 cos 2 ⁡ x - cos 4 ⁡ x ) d x

Novamente temos uma integral sem antiderivada elementar. Resolvendo com a ajuda da calculadora, temos que V x = 6,16850 .

Resposta

  1. V x = 3,70110
  2. V x = 6,16850
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A região sob a curva y = t g 2 x de 0 a π / 4 é girada em torno do eixo x . Encontre o volume do sólido resultante.