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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 31

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região acima do eixo x e abaixo da elipse

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > 0 ,     b > 0 )

Passo 1

Bom galera, vamos começar resolvendo y , e como a gente tá interessado só na parte da curva acima do eixo x , a gente quer só na parte positiva da raiz quadrada:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

→ y 2 = b 2 a 2 - x 2 a 2

→ y 2 = b 2 a 2 a 2 - x 2

→ y = ± b 2 a 2 a 2 - x 2

→ y = b a a 2 - x 2

Passo 2

Belezinha, x = ± a é o valor de x onde a elipse cruza o eixo x . Como existe simetria, integraremos o intervalo a ≥ x ≥ a e multiplicaremos por 2 :

2 π ∫ 0 a b a a 2 - x 2 2 d x

= 2 π ∫ 0 a b 2 a 2 a 2 - x 2   d x

= 2 π b 2 a 2 ∫ 0 a a 2 - x 2   d x

Passo 3

Por fim, vamos resolver a integral:

2 π b 2 a 2 ∫ 0 a a 2 - x 2   d x

= 2 π b 2 a 2 a 2 x - x 3 3 0 a

= 2 π b 2 a 2 a 2 a - a 3 3 - a 2 0 + 0 3 3

= 2 π b 2 a 2 3 a 3 3 - a 3 3

= 4 π a b 2 3

Resposta

4 π a b 2 3

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