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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 20

Calcule a integral.

int (3 x + 1)/(3 x^2 + 2 x - 1) d x

Passo 1

Vamos lá, aqui nosso primeiro impulso é usar frações parciais, mas se analisarmos o denominador bem, vemos que a derivada dele é exatamente duas vezes a expressão do numerador, então vamos usar a regra da substituição aqui, bem mais simples!!

Passo 2

Usando a Regra da Substituição vamos ter:

u = 3 x^2 + 2 x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 * 2 * x^(2 - 1) + 2 - 0 d x = 6 x - 2 d x = 2 (3 x - 1) d x ->

-> (d u)/(2) = 3 x - 1 d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (3 x + 1)/(3 x^2 + 2 x - 1) d x = int (1)/(2 u) d u = (1)/(2) int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(1)/(2) int (1)/(u) d u = (1)/(2) ln |u| + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (3 x + 1)/(3 x^2 + 2 x - 1) d x = (1)/(2) int (1)/(u) d u = (1)/(2) ln |u| + C = (1)/(2) ln |3 x^2 + 2 x - 1| + C

Resposta

int (3 x + 1)/(3 x^2 + 2 x - 1) d x = (1)/(2) ln |3 x^2 + 2 x - 1| + C

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