Calcule a integral.

∫ 3 x + 1 3 x 2 + 2 x - 1 d x

Passo 1

Vamos lá, aqui nosso primeiro impulso é usar frações parciais, mas se analisarmos o denominador bem, vemos que a derivada dele é exatamente duas vezes a expressão do numerador, então vamos usar a regra da substituição aqui, bem mais simples!!

Passo 2

Usando a Regra da Substituição vamos ter:

u = 3 x 2 + 2 x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 ⋅ 2 ⋅ x 2 - 1 + 2 - 0   d x = 6 x - 2 d x = 2 3 x - 1 d x →

→ d u 2 = 3 x - 1 d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 3 x + 1 3 x 2 + 2 x - 1 d x = ∫ 1 2 u d u = 1 2 ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 3 x + 1 3 x 2 + 2 x - 1 d x = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u + C = 1 2 ln ⁡ 3 x 2 + 2 x - 1 + C

Resposta

∫ 3 x + 1 3 x 2 + 2 x - 1 d x = 1 2 ln ⁡ 3 x 2 + 2 x - 1 + C

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