Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 6
Seja R a região no primeiro quadrante delimitada por , e . Em cada parte, monte, mas não calcule, uma integral ou uma soma de integrais que resolva o
problema.
(a) Encontre a área de por integração em relação a .
(b) Encontre a área de por integração em relação a .
(c) Encontre o volume do sólido gerado quando gira em torno do eixo por integração em relação a .
(d) Encontre o volume do sólido gerado quando gira em torno do eixo x por integração em relação a .
(e) Encontre o volume do sólido gerado quando R gira em torno do eixo por integração em relação a .
(f) Encontre o volume do sólido gerado quando gira em torno do eixo por integração em relação a .
(g) Encontre o volume do sólido gerado quando gira em torno da reta por integração em relação a .
(h) Encontre o volume do sólido gerado quando gira em torno da reta por integração em relação a .
Passo 1
Para resolvermos essas questões, vamos aplicar as formulas que já estudamos no capitulo 6!! Resumidamente, para a área usamos:
Já para o volume:
Mas essas formulas podem mudar o referencial, usar ou .
Passo 2
Começando pelo item (a), a área em relação a é:
Para o item (b), fazemos o mesmo, mas agora em relação a :
Passo 3
Agora, começamos outro passo, calcular o volume. Para o item (c), queremos o o volume do sólido em torno do eixo e em relação a :
Para o item (d), queremos o o volume do sólido em torno do eixo e em relação a . É só isolarmos o nas expressões:
Para o item (e) já vai mudando um pouquinho. Queremos agora o volume em torno do eixo em relação a . Para esse caso, nós usamos a formula descrita no passo 1. Logo,
Para o item (f), queremos o volume do sólido em torno do eixo , so que agora em relação a :
Para o item (g), queremos o volume do sólido em torno da reta em relação a .
Para o item (h), queremos o volume do sólido em torno da reta em relação a .
Prontinho!!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)