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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 26

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo y .

y = 1 - x 2 x 2   ( x > 0 ) ; x = 0 ; y = 0 ; y = 2

Passo 1

Bom galera, vamos começar encontrando a integral para o volume do sólido de revolução:

V = ∫ a b π g y 2   d y

Nossa função é:

y = 1 - x 2 x 2

→ 1 - x 2 x 2 = y 2

→ 1 x 2 - 1 = y 2

→ 1 x 2 = y 2 + 1 1

→ x = 1 y 2 + 1

E a nossa integral vai de 0 até 2 .

Passo 2

Belezinha, agora vamos colocar os valores na integral:

V = π ∫ 0 2 1 y 2 + 1 2 - 0 2   d y

→ V = π ∫ 0 2 1 y 2 + 1   d y

Passo 3

Por fim, a gente resolve essa integral:

V = π ∫ 0 2 1 y 2 + 1   d y

= π arctan ⁡ y 0 2 = π ( arctan ⁡ 2 )

Resposta

π ( arctan ⁡ 2 )

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