Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 2
(Volume de Sólido de revolução em torno do eixo y). Suponha Estritamente crescente e com derivada contínua em , . Seja A função inversa de .
- Verifique que o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto
- Mostre que
- Conclua que o volume mencionado em a é
é igual a
Passo 1
a)
A gente pode achar o volume de um sólido, “fatiando” ele em um cilindro com altura infinitesimal para facilitar a nossa integração. Vamos entender como isso funciona!
O volume de um cilindro é: .
Agora vamos entender quem é e !
Como a rotação é no eixo , tem que nesse eixo estará a nossa altura , sendo ela infitesimal, e vamos chama-la de .
No eixo , teremos uma circunferência maior de raio e dentro dela uma circunferiência menor de raio Porém como estamos trabalhando com a altura consideramos a função que depende de , no caso dará o tamanho do raio menor.
Então ficamos com,
Note que para o raio subtraímos o raio da circunferência de fora pelo da dentro.
A interal será um somatório de todos esses volumes temos:
E os limites de integração para são , já, como indicado no enunciado, para é , assim ficamos com:
Resolvendo, temos:
Como é uma constante, ficamso com:
Passo 2
b)
O volume de um cilindro pode ser escrito de duas maneiras:
O primeiro caso já foi explicado, já o segundo método é feito assim:
Avaliamos os cilindros como tendo espessura infinitesimal e altura paralela ao eixo de rotação, e a expressão que define o volume desse cilindro é:
O vai ser a altura do sólido de revolução, no nosso caso vai do eixo até a função , então
Já expessura é infinitesimal, ou seja, vai ser dado por e o raio vai ser a distância do eixo de rotação até o ponto médio do (que é o próprio x), assim temos uma nova expressão:
Fazendo o somatório de todos os Cilindros dentro do limite de integração dado [a,b], teremos uma nova expressão:
Pronto V agora tem dois métodos de serem resolvidos com valores iguais. Com isso podemos afirmar que, dada as considerações do problema (Suponha Estritamente crescente e com derivada contínua em , . Seja A função inversa de ), que:
Esse racicionio é similar ao anterior, sendo no que , a gente olha para altura como , e pelo , a gente olha para espessura como .
Passo 3
c)
Se você voltar no , vai que já mostramos que
Pois lá mostramos que,
As duas integrais são equivalente, é só jogar o da segunda integral para fora que chegamos na primeira.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)