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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 1d

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que

0 ≤ x ≤ π     e 0 ≤ y ≤ sin ⁡ x

Passo 1

Primeiro vamos entender o que se passa e o que se pede analisando o gráfico abaixo:

Vamos criar pequenos retângulos entre o eixo x e o sin ⁡ x com largura infinitesimal (que poderemos aproximar para dx) e rotacionar esse relangulo em volta do eixo x criando cilindros.

Analisando o gráfico, você descobre que o raio desses cilindros é sempre a distância entre o eixo y e o valor de x avaliado no meio do dx.

Sabemos que o volume desses cilindros é: 2 π r × h × l , sendo que l é espessura do cilindro (que vimos ser dx), h vai ser a distância entre sin ⁡ x e 0 (que é o próprio sin ⁡ x ) e r é a distância do eixo y até o x (que vai ser sempre x).

Assim, somando todos esses cilindros teremos:

∫ 2 π x × sin ⁡ x × d x

E como o exercício diz que o conjunto tem x variando de 0 a π temos também os limites de integração

∫ 0 π 2 π x × sin ⁡ x × d x

Mãos a obra!

Passo 2

∫ 0 π 2 π x × sin ⁡ x × d x

Vemos que essa integral tem cara de ser resolvida por integração por partes:

Relembrando:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Temos duas funções multiplicando, uma é u e outra é v, porém temos o diferencial de v, ou seja, dv multiplicando u, e aplicamos a fórmula dada.

Existem duas opções, chamar u = sin ⁡ x e d v = x d x ou u = x   e d v = sin ⁡ x d x , mas o mais prático é usar a segunda opção pq ficamos com a relação:

u = x → d u = d x e d v = sin ⁡ x d x → v = - cos ⁡ x

Fazendo a substituição, temos:

2 π ∫ x s i n   x d x = 2 π x ( - cos ⁡ x ) - ∫ ( - cos ⁡ x ) d x = 2 π x ( - cos ⁡ x ) + ∫ ( cos ⁡ x ) d x

2 π x ( - cos ⁡ x ) + ∫ ( cos ⁡ x ) d x = 2 π x ( - cos ⁡ x ) + sin ⁡ x + c

Passo 3

Agora podemos aplicar os limites de integração:

∫ 0 π 2 π x × sin ⁡ x × d x = 2 π x ( - cos ⁡ x ) + sin ⁡ x + c π 0 =

= 2 π π ( - cos ⁡ ( π ) ) + sin ⁡ π + c - ( ( 0 ) ( - cos ⁡ 0 ) + sin ⁡ 0 + c ) =

2 π π 0 + 1 - ( 0 - 1 + ( 0 ) ) = 2 π 2

Resposta

V = ∫ 0 π 2 π x × sin ⁡ x × d x = 2 π 2

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