Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 1e

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que

0 ≤ x ≤ 1     e 0 ≤ y ≤ tan - 1 ⁡ x

Passo 1

Primeiro vamos entender o que se passa e o que se pede analisando o gráfico abaixo:

0 ≤ y ≤ tan - 1 ⁡ x ,   c o m   0 ≤ x ≤ 1  

Vamos criar pequenos retângulos entre o eixo x e o lnx com largura infinitesimal (que poderemos aproximar para dx) e rotacionar esse relangulo em volta do eixo x criando cilindros.

Analisando o gráfico, você descobre que o raio desses cilindros é sempre a distância entre o eixo y e o valor de x avaliado no meio do dx.

Sabemos que o Volume desses cilindros é: 2 π r × h × l , sendo que l é espessura do cilindro (que vimos ser dx), h vai ser a distância entre tan - 1 ⁡ x e 0 (que é o próprio tan - 1 ⁡ x ) e r é a distância do eixo y até o x (que vai ser sempre x).

Assim, somando todos esses cilindros teremos:

∫ 2 π x × tan - 1 ⁡ x × d x

E como o exercício diz que o conjunto tem x variando de 0 a 1   temos também os limites de integração

∫ 0 1 2 π x × tan - 1 ⁡ x × d x

Mãos a massa!

Passo 2

∫ 0 1 2 π x × tan - 1 ⁡ x × d x

Essa integral tem cara de que pode ser resolvida por integração por partes, Mas como se faz mesmo?

Relembrando:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Temos duas funções multiplicando, uma é u e outra é v, porém temos o diferencial de v, ou seja, dv multiplicando u, e aplicamos a fórmula dada.

Vemos que é muito difícil fazer que d v = tan - 1 ⁡ x d x por que encontrar v seria muito difícil, então fazemos que u = tan - 1 ⁡ x   e   d v = x , assim ficamos com as relações:

u = tan - 1 ⁡ x → d u = 1 1 +   x 2 d x e d v = x d x → v = x 2 2

2 π ∫ x tan - 1 ⁡ x d x = 2 π x 2 2 tan - 1 ⁡ x - ∫ x 2 2 1 +   x 2 d x

2 π x 2 2 tan - 1 ⁡ x - ∫ x 2 2 1 +   x 2 d x = 2 π x 2 2 tan - 1 ⁡ x - 1 2 ∫ x 2 1 +   x 2 d x

π x 2 tan - 1 ⁡ x - ∫ x 2 1 +   x 2 d x

Para resolvermos a integral ∫ x 2 1 +   x 2 d x precisamos de usar um truque. Se tivéssemos um 1 em cima, seria conveniente para podermor cortar e aí teríamos apenas   ∫ d x , então se queremos somar 1 em cima, temos que subtrair 1 para manter a equivalência

∫ x 2 1 +   x 2 d x = ∫ ( x 2 + 1 ) - 1 1 +   x 2 d x =

= ∫ x 2 + 1 1 +   x 2 d x - ∫ 1 1 +   x 2 d x = ∫ d x - ∫ 1 1 +   x 2 d x

Para resolver:

∫ d x = x + c

Para resolver:

∫ 1 1 +   x 2 d x = tan - 1 ⁡ x + c

Assim, retomando:

π x 2 tan - 1 ⁡ x - ∫ x 2 1 +   x 2 d x = π x 2 tan - 1 ⁡ x - ∫ d x - ∫ 1 1 +   x 2 d x =

π x 2 tan - 1 ⁡ x - x - tan - 1 ⁡ x + c = π x 2 tan - 1 ⁡ x - x + tan - 1 ⁡ x - c =

π tan - 1 ⁡ x ( x 2 + x ) - x - c

Passo 3

Aplicando, agora, os limites de integração:

∫ 0 1 2 π x × tan - 1 ⁡ x × d x = π tan - 1 ⁡ x x 2 + x - x - c 1 0 =

π tan - 1 ⁡ 1 1 2 + 1 - 1 - c - tan - 1 ⁡ 0 0 2 + 0 - 0 - c = π π 4 2 - 1 = 2 π π 2 - 1

π π - 2 2 = π π - 2 2

Resposta

∫ 0 1 2 π x × tan - 1 ⁡ x × d x = π π - 2 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo y . y = ln ⁡ x ; x = 0 ; y = 0 ; y = 1
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo y . y = x 2 ; x = y 2
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região do exercicio 35 gira em torno da reta y = 3 .
Seja V o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por y = 1 / x , y = 0 , x = 2 e x = b ( 0b2 ) gira em torno do eixo x . Encontre o valor de b para o qual V = 3 .
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo y . x = y 2 ; x = y + 2