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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 3

Se A = ([[-,2,1,2],[1,0,-,3],[2,-,1,1]]) e B = ([[1,2,3],[3,-,1,-,1],[-,2,1,0]]) , encontre

(a) A^T

(b) B^T

(c) A^T + B^T

(d) (A + B)^T

Passo 1

Para começar vamos relembrar algumas propriedades de matrizes:

Imagine duas matrizes A = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) e B = ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]])

Uma das propriedades é a soma de matrizes. Esta operação só pode ser feita se as duas matrizes possuem o mesmo número de linhas e colunas. E é dada por:

A + B = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) + ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]]) = ([[a_11,+,b_11,a_12,+,b_12],[a_21,+,b_21,a_22,+,b_22]])

Ou seja, a soma de matrizes gera uma nova matriz com o mesmo tamanho das matrizes que a geraram e cada termo é a soma dos termos equivalentes nas matrizes originárias.

Outra propriedade é a matriz transposta. Quando se transpõe uma matriz o que se faz é trocar as linhas pelas colunas ou seja:

A = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]])

A^T = ([[a_11,a_21],[a_1 2,a_22]])

Se você verificar a primeira linha da matriz A era a_11 e a_12 e agora é a primeira coluna da matriz transposta A^T . O mesmo vale para uma matriz de n linhas. Tudo bem???

Agora que relembramos estes pontos vamos aplicá-los para resolver os itens propostos. Vamos lá?

Passo 2

Temos as matrizes A = ([[-,2,1,2],[1,0,-,3],[2,-,1,1]]) e B = ([[1,2,3],[3,-,1,-,1],[-,2,1,0]]) . Os itens (a) e (b) nos pedem para calcular A^T e B^T , respectivamente. Então:

A = ([[-,2,1,2],[1,0,-,3],[2,-,1,1]])

Aplicando a transposição:

A^T = ([[-,2,1,2],[1,0,-,1],[2,-,3,1]])

Para a matriz B :

B = ([[1,2,3],[3,-,1,-,1],[-,2,1,0]])

B^T = ([[1,3,-,2],[2,-,1,1],[3,-,1,0]])

Nosso próximo passo será aplicar a soma das matrizes transpostas:

A^T + B^T =

([[-,2,1,2],[1,0,-,1],[2,-,3,1]]) + ([[1,3,-,2],[2,-,1,1],[3,-,1,0]]) =

([[-,2,+,1,1,+,3,2,-,2],[1,+,2,0,-,1,-,1,+,1],[2,+,3,-,3,-,1,1,+,0]]) =

A^T + B^T = ([[-,1,4,0],[3,-,1,0],[5,-,4,1]])

Passo 3

O item (d) nos pede para somar as matrizes A e B e entaõ aplicar a transposição. Vamos lá então. A soma das matrizes é dada por:

A + B =

([[-,2,1,2],[1,0,-,3],[2,-,1,1]]) + ([[1,2,3],[3,-,1,-,1],[-,2,1,0]]) =

([[-,2,+,1,1,+,2,2,+,3],[1,+,3,0,-,1,-,3,-,1],[2,-,2,-,1,+,1,1,+,0]]) =

A + B = ([[-,1,3,5],[4,-,1,-,4],[0,0,1]])

Aplicando a propriedade de transposição:

(A + B)^T =

([[-,1,4,0],[3,-,1,0],[5,-,4,1]])

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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