Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 9
Se e , mostre que
(a)
(b)
Passo 1
Para começar vamos relembrar algumas propriedades de vetores:
Imagine dois vetores e
Uma das propriedades é a transposição de um vetor. Quando se transpõe um vetor o que se faz é trocar as linhas pelas colunas ou seja:
Vamos rever agora a multiplicação de vetores. A primeira coisa que precisamos saber é que a ordem dos fatores é importante, ou seja, . Esta operação é descrita por:
Outra propriedade é o vetor conjugado. Que é dado por:
Que equivale à trocar o sinal da parte imaginária dos coeficientes complexos do vetor.
Vamos ainda relembrar o produto interno de dois vetores. O produto interno é denotado por:
Agora que relembramos estes pontos iremos resolver os itens pedidos. Vamos lá???
Passo 2
O item (a) nos pede para mostrar que . Então, vamos começar calculando :
O próximo passo será calcular a multiplicação de vetores :
Passo 3
Vamos agora demonstrar a propriedade do produto interno . Antes disso, vamos determinar os vetores conjugados:
E
Então:
E
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)