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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 2

Se A = ([[1,+,i,-,1,+,2,i],[3,+,2,i,2,-,i]]) e B = ([[i,3],[2,-,2,i]]) , encontre

(a) A - 2 B

(b) 3 A + B

(c) A B

(d) B A

Passo 1

Para começar vamos relembrar algumas propriedades de matrizes:

Imagine duas matrizes A = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) e B = ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]])

Se multiplicamos uma matriz por um número:

2 A = 2 ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) = ([[2,a_11,2,a_12],[2,a_21,2,a_22]])

É equivalente a multiplicar todos os coeficientes da matriz.

Outra propriedade é a soma de matrizes. Esta operação só pode ser feita se as duas matrizes possuem o mesmo número de linhas e colunas. E é dada por:

A + B = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) + ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]]) = ([[a_11,+,b_11,a_12,+,b_12],[a_21,+,b_21,a_22,+,b_22]])

Ou seja, a soma de matrizes gera uma nova matriz com o mesmo tamanho das matrizes que a geraram e cada termo é a soma dos termos equivalentes nas matrizes originárias.

Vamos rever agora a multiplicação de matrizes. A primeira coisa que precisamos saber é que a ordem dos fatores é importante, ou seja, A B != B A . Além disso, para realizar esta operação é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda. Esta operação é descrita por:

A B = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]]) =

([[a_11,b_11,+,a_12,b_21,a_11,b_12,+,a_12,b_22],[a_21,b_11,+,a_22,b_21,a_21,b_12,+,a_22,b_22]]) = C

Ou você pode pensar que o termo c_i j da matriz c é:

c_i j = sum_(k = 1)^n a_i k x b_k j

Agora que já recordamos algumas propriedades de matrizes iremos aplicá-las para resolver os problemas propostos. Tudo bem???

Passo 2

Temos as matrizes A = ([[1,+,i,-,1,+,2,i],[3,+,2,i,2,-,i]]) e B = ([[i,3],[2,-,2,i]]) . O item (a) nos pede para calcular 2 A + B :

2 A + B =

2 x ([[1,+,i,-,1,+,2,i],[3,+,2,i,2,-,i]]) + ([[i,3],[2,-,2,i]]) =

([[2,+,2,i,-,2,+,4,i],[6,+,4,i,4,-,2,i]]) + ([[i,3],[2,-,2,i]]) =

([[2,+,2,i,+,i,-,2,+,4,i,+,3],[6,+,4,i,+,2,4,-,2,i,-,2,i]]) =

2 A + B = ([[2,+,3,i,1,+,4,i],[8,+,4,i,4,-,4,i]])

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para obter A - 4 B :

A - 4 B =

([[1,+,i,-,1,+,2,i],[3,+,2,i,2,-,i]]) - 4 x ([[i,3],[2,-,2,i]]) =

([[1,+,i,-,1,+,2,i],[3,+,2,i,2,-,i]]) + ([[-,4,i,-,12],[-,8,8,i]]) =

([[1,+,i,-,4,i,-,1,+,2,i,-,12],[3,+,2,i,-,8,2,-,i,+,8,i]]) =

A - 4 B = ([[1,-,3,i,-,13,+,2,i],[-,5,+,2,i,2,+,7,i]])

Passo 3

Vamos agora para os itens (c) e (d) que tratam de multiplicação de matrizes. O item (c) pede para determinar A B . Vamos lá???

A B =

([[1,+,i,-,1,+,2,i],[3,+,2,i,2,-,i]]) ([[i,3],[2,-,2,i]]) =

([[(1 + i),x,i,+,(- 1 + 2 i),x,2,(1 + i),x,3,+,(- 1 + 2 i),x,(,-,2,i,)],[(3 + 2 i),x,i,+,(2 - i),x,2,(3 + 2 i),x,3,+,(2 - i),x,(,-,2,i,)]]) =

([[i,-,1,-,2,+,4,i,3,+,3,i,+,2,i,+,4],[3,i,-,2,+,4,-,2,i,9,+,6,i,-,4,i,+,2]])

A B = ([[-,3,+,5,i,7,+,5,i],[2,+,i,11,+,2,i]])

E finalmente, o item (d) pede para determinar B A :

B A =

([[i,3],[2,-,2,i]]) ([[1,+,i,-,1,+,2,i],[3,+,2,i,2,-,i]]) =

([[i,x,(1 + i),+,3,x,(,3,+,2,i,),i,x,(- 1 + 2 i),+,3,x,(,2,-,i,)],[2,x,(1 + i),+,(- 2 i),x,(,3,+,2,i,),2,x,(- 1 + 2 i),+,(- 2 i),x,(,2,-,i,)]]) =

([[i,-,1,+,9,+,6,i,-,i,-,2,+,6,-,3,i],[2,+,2,i,-,6,i,+,4,-,2,+,4,i,-,4,i,-,2]])

B A = ([[8,+,7,i,4,-,4,i],[6,-,4,i,-,4]])

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se A ( t ) = e t 2 e - t e 2 t 2 e t e - t - e 2 t - e t 3 e - t 2 e 2 t e B ( t ) = 2 e t e - t 3 e 2 t - e t 2 e - t e 2 t 3 e t - e - t - e 2 t , encontre(a) A + 3 B (b) A B (c) d A / d t (d) ∫ 0 1
Prove cada uma das propriedades, a seguir, da álgebra de matrizes:(a) A + B = B + A (b) A + B + C = A + B + C (c) α A + B = α A + α B (d) α + β A = α A + β A (e) A B C = A B C (f) A B + C = A B + A C
Em cada um dos problemas de 22 a 24, verifique se o vetor dado satisfaz a equação diferencial dada.23. x ' = 2 - 1 3 - 2 x + 1 - 1 e t , x = 1 0 e t + 2 1 1 t e t
Em cada um dos problemas de 22 a 24, verifique se o vetor dado satisfaz a equação diferencial dada.22. x ' = 3 - 2 2 - 2 x, x = 4 2 e 2 t
Em cada um dos Problemas 25 e 26, verifique se a matriz dada satisfaz a equação diferencial dada.25. Ψ ' = 1 1 4 - 2 Ψ,Ψ t = e - 3 t e 2 t - 4 e - 3 t e 2 t