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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 8

Se x = ([[2],[3,i],[1,-,i]]) e y = ([[-,1,+,i],[2],[3,-,i]]) , encontre

(a) x^T y

(b) y^T y

(c) ( x , y )

(d) ( y , y )

Passo 1

Para começar vamos relembrar algumas propriedades de vetores:

Imagine dois vetores a = ([[a_11,+,c,i],[a_21,+,d,i]]) e b = ([[b_11],[b_21]])

Uma das propriedades é a transposição de um vetor. Quando se transpõe um vetor o que se faz é trocar as linhas pelas colunas ou seja:

a = ([[a_11,+,c,i],[a_21,+,d,i]])

a^T = ([[a_11,+,c,i,a_21,+,d,i]])

Vamos rever agora a multiplicação de vetores. A primeira coisa que precisamos saber é que a ordem dos fatores é importante, ou seja, a^T b != b^T a . Esta operação é descrita por:

a^T b = sum_(i = 1)^n a_i x b_i

Outra propriedade é o vetor conjugado. Que é dado por:

overset(-)(a) = ([[a_11,-,c,i],[a_21,-,d,i]])

Que equivale à trocar o sinal da parte imaginária dos coeficientes complexos do vetor.

Vamos ainda relembrar o produto interno de dois vetores. O produto interno é denotado por:

(a , b) = sum_(i = 1)^n a_i x overset(-)(b)_i

Agora que relembramos estes pontos iremos resolver os itens pedidos. Vamos lá???

Passo 2

O item (a) nos pede para determinar a multiplicação x^T y :

x^T y =

sum_(i = 1)^n x_i x y_i =

2 x (- 1 + i) + 3 i x 2 + (1 - i) x (3 - i) =

- 2 + 2 i + 6 i + 3 - i - 3 i - 1 =

x^T y = 4 i

O próximo passo será calcular a multiplicação de vetores y^T y :

y^T y =

sum_(i = 1)^n y_i x y_i =

(- 1 + i) x (- 1 + i) + 2 x 2 + (3 - i) x (3 - i) =

1 - 2 i - 1 + 4 + 9 - 6 i - 1 =

12 - 8 i

Passo 3

Vamos agora para os cálculos de produto interno. O item (c) pede ( x , y ) , por isso, antes de prosseguir vamos determinar o vetor conjugado overset(-)(y) :

y = ([[-,1,+,i],[2],[3,-,i]])

overset(-)(y) = ([[-,1,-,i],[2],[3,+,i]])

Então:

(x , y) = sum_(i = 1)^n x_i x overset(-)(y)_i =

2 x (- 1 - i) + 3 i x 2 + (1 - i) x (3 + i) =

- 2 - 2 i + 6 i + 3 + i - 3 i + 1 =

2 + 2 i

Vamos agora ao item (d) que pede ( y , y ) :

(y , y) = sum_(i = 1)^n y_i x overset(-)(y)_i =

(- 1 + i) x (- 1 - i) + 2 x 2 + (3 - i) x (3 + i) =

+ 1 + i - i + 1 + 4 + 9 + 3 i - 3 i + 1 =

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Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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