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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 13

Encontre o comprimento de arco no segundo quadrante da curva x 2 3 + y 2 3 = 4 de x = - 8 a x = - 1 .

Passo 1

Para esse problema, começamos isolando y :

y 2 3 = 4 - x 2 3

y = 4 - x 2 3 3 2

Feito isso, vamos calcular a derivada para substituirmos na fórmula do comprimento de arco:

y ' = 4 - x 2 3 3 2

y = 4 - x 2 3 x 3

Passo 2

Certo, agora vamos lembrar da expressão do comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Assim, teremos:

L = ∫ - 1 - 8 1 + 4 - x 2 3 x 3 2 d x

Organizando os termos:

L = ∫ - 1 - 8 1 + 4 - x 2 3 x 2 3 d x

L = ∫ - 1 - 8 1 + 4 - x 2 3 x 2 3 d x

L = ∫ - 1 - 8 1 + 4 x 2 3 - x 2 3 x 2 3 d x

L = ∫ - 1 - 8 4 x 2 3 d x = ∫ - 8 - 1 2 x 2 3 x d x

Passo 3

Agora, como mudamos o intervalo de integração teremos o sinal negativo e a constante fora da integral:

L = - 2 ∫ - 8 - 1 1 x 3 d x

L = - 2 3 2 x 2 3 - 8 - 1 = - 2 × - 9 2 = 9

Prontinho!!

Resposta

9

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