Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 46
A Equação Adjunta. Se uma equação linear homogênea de segunda ordem não for exata, ela pode se tornar exata multiplicando-se por um fator integrante apropriado . Precisamos, então, que seja tal que
possa ser escrita na formar
Igualando os coeficientes nessasduas equações e eliminando , mostre que a função precisa satisfazer
Essa equação é conhecida como adjunta da equação original e é importante na teoria avançada de equações diferenciais. Em geral, o problema de resolver a equação diferencial adjunta é tão difícil quanto o de resolver a equação original, de modo que só é possível encontrar um fator integrante para uma equação de segunda ordem de vez em quando.
Passo 1
Para resolvermos, vamos partir da seguinte equação:
Vamos manipula-la e então aplicar a sugestão do enunciado, na qual nos diz para em algum momento eliminarmos , para então chegarmos em nossa solução.
Passo 2
Bom, vamos lá! Vamos começar abrindo toda essa nossa expressão e comparando com a expressão original.
Se compararmos com
igualando as duas equações, já que precisam ser as mesmas, vamos ter que:
Assim, chegamos que a única maneira dessa relação ser válida é se
e
Derivando essa nossa ultima relação, vamos ter que:
Igualando com a relação anterior, vamos chegar em:
Como queríamos.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)