A Equação Adjunta. Se uma equação linear homogênea de segunda ordem não for exata, ela pode se tornar exata multiplicando-se por um fator integrante apropriado . Precisamos, então, que seja tal que

possa ser escrita na formar

Igualando os coeficientes nessasduas equações e eliminando , mostre que a função precisa satisfazer

Essa equação é conhecida como adjunta da equação original e é importante na teoria avançada de equações diferenciais. Em geral, o problema de resolver a equação diferencial adjunta é tão difícil quanto o de resolver a equação original, de modo que só é possível encontrar um fator integrante para uma equação de segunda ordem de vez em quando.

Bom, vamos lá! Vamos começar abrindo toda essa nossa expressão e comparando com a expressão original.

Se compararmos com

igualando as duas equações, já que precisam ser as mesmas, vamos ter que:

Assim, chegamos que a única maneira dessa relação ser válida é se

e

Derivando essa nossa ultima relação, vamos ter que:

Igualando com a relação anterior, vamos chegar em:

Como queríamos.