Nos problemas de 38 a 40, suponha que p e q são contínuas e que as funções y₁ e y2 são soluções da equação diferencial y'' + p(t) y' + q(t) y = 0 em um intervalo abertro I .

Prove que, se y₁ e y₂ têm um ponto de inflexão em comum em t_0 em I , então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo, a menos que ambas as funções p e q se anulem em t_0 .

Passo 1

Para resolvermos, iremos utilizar a suposição de que y 1 e y 2 são soluções da EDO e após isso iremos desenvolver toda a solução através do Wronskiano. Vamos também pegar um ponto qualquer do conjunto I para aplicar em nossa solução para provarmos que não poderão formar um conjunto fundamental.

Passo 2

Bom, vamos lá! Primeiro vamos partir da suposição que nos é sugerida: de que y 1 e y 2 são soluções da nossa equação

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

Assim, podemos calcular o wronskiano dessas duas soluções. Para isso, vamos supor também que y 1 e y 2 são diferenciáveis. Logo, temos que:

W y 1 ,   y 2 = f 1 t f 2 t f 1 ' t f 2 ' t = y 1 t y 2 t y 1 ' t y 2 ' t

Calculando o determinante de forma cruzada, teremos que

y 1 t ⋅ y 2 ' t - y 2 t ⋅ y 1 ' t = W y 1 ,   y 2 t

Agora, vamos supor que y 1 ' t e y 2 ' t tem um ponto de inflexão em t 0 . Logo, teremos que

y 1 ' t 0 = y 2 ' t 0 = 0

E nosso Wronskiano fica

W y 1 ,   y 2 t 0 = y 1 t 0 ⋅ y 2 ' t 0 - y 2 t 0 ⋅ y 1 ' t 0 =

= y 1 t 0 ⋅ 0 - y 2 t 0 ⋅ 0 = 0

Assim, teremos que nosso W y 1 , y 2 t 0 = 0 , e para ser um conjunto fundamental, temos que em nenhum ponto nosso wronskiano pode ser nulo. Mas, se observarmos o wronskiano pela outra forma de obte-lo, teremos que

W t = C ⋅ e - ∫ p t d t

Teremos que se p t 0 = 0 , nosso W t 0 = C , onde C ≠ 0 já que nosso y 1 e y 2 são diferentes de zero. Mas p t 0 = 0 implica que q t 0 = 0 , da seguinte forma:

y 1 ' ' t 0 + p t 0 y 1 ' t 0 + q t 0 y 1 t 0 = 0

Como temos um ponto de inflexão para y 1 em t 0 , teremos que y 1 ' t 0 = 0 e y 1 ' ' t 0 = 0 . Assim:

q t 0 y 1 t 0 = 0

Como y 1 t 0 ≠ 0 , temos que a única possibilidade é que q t 0 = 0 , como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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