Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 40
Nos problemas de 38 a 40, suponha que e são contínuas e que as funções e são soluções da equação diferencial em um intervalo abertro .
Prove que, se e têm um ponto de inflexão em comum em em , então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo, a menos que ambas as funções e se anulem em .
Passo 1
Para resolvermos, iremos utilizar a suposição de que e são soluções da EDO e após isso iremos desenvolver toda a solução através do Wronskiano. Vamos também pegar um ponto qualquer do conjunto para aplicar em nossa solução para provarmos que não poderão formar um conjunto fundamental.
Passo 2
Bom, vamos lá! Primeiro vamos partir da suposição que nos é sugerida: de que e são soluções da nossa equação
Assim, podemos calcular o wronskiano dessas duas soluções. Para isso, vamos supor também que e são diferenciáveis. Logo, temos que:
Calculando o determinante de forma cruzada, teremos que
Agora, vamos supor que e tem um ponto de inflexão em . Logo, teremos que
E nosso Wronskiano fica
Assim, teremos que nosso , e para ser um conjunto fundamental, temos que em nenhum ponto nosso wronskiano pode ser nulo. Mas, se observarmos o wronskiano pela outra forma de obte-lo, teremos que
Teremos que se , nosso , onde já que nosso e são diferentes de zero. Mas implica que , da seguinte forma:
Como temos um ponto de inflexão para em , teremos que e . Assim:
Como , temos que a única possibilidade é que , como queríamos demonstrar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)