Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 41
Equações Exatas. A equação
é dita exata se puder ser escrita na forma
em que pode ser determinada em função de e . Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para que pode ser resolvida como na Seção 2.1. Igualando os coeficientes das equações precedentes e eliminando , mostre que uma condição necessária para que a equação seja exata é que
.
Pode-se mostrar que essa condição também é suficiente.
Passo 1
Para resolvermos, vamos partir da seguinte equação:
Vamos manipula-la e então aplicar a sugestão do enunciado, na qual nos diz para em algum momento eliminarmos , para então chegarmos em nossa solução.
Passo 2
Bom, vamos lá! Vamos começar abrindo toda essa nossa expressão e comparando com a expressão original.
Se compararmos com
igualando as duas equações, já que precisam ser as mesmas, vamos ter que:
Assim, chegamos que a única maneira dessa relação ser válida é se
e
Derivando essa nossa ultima relação, vamos ter que:
Igualando com a relação anterior, vamos chegar em:
Como queríamos.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)